Tam giác ABC nhọn (AC > BC) các đường cao AH, BK cắt nhau tại I. Biết góc ACB = 75 °. Tính góc HIK

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng bước một.

### a) Tính góc HIK

Trong tam giác ABC, đã cho rằng góc ACB = 75°. Các đường cao AH và BK cắt nhau tại I.

Để tính góc HIK, ta có thể sử dụng một số định lý lượng giác và thuộc tính của các góc.

1. Góc AHI = 90° (do AH là đường cao)
2. Góc BKI = 90° (do BK là đường cao)
3. Góc ABI = góc ngoài tại I tương ứng với góc ACB.

Ta có:

\[
\angle HIK = \angle AIB = 180° - \angle ACB = 180° - 75° = 105°
\]

Khi đó, góc HIK sẽ được tính là:

\[
\angle HIK = 90° - \angle ACB / 2 = 90° - 75° / 2 = 90° - 37.5° = 52.5°
\]

Vậy nên, ta có:

\[
\angle HIK = 52.5°.
\]

### b) Chứng minh ANBI là hình bình hành

Ta kẻ đường thẳng vuông góc từ A xuống AC và từ B xuống BC, giao điểm của hai đường này là N.

Để chứng minh ANBI là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng AN // BI và AB // NI.

- **AN // BI**:
- Vì AN vuông góc với AC và BI vuông góc với AC, nên AN // BI.

- **AB // NI**:
- Bởi vì AN và BN cũng vuông góc với đường thẳng AC và BC, tương tự như mô tả ở phần AN // BI, ta có AB sẽ song song với NI.

Vì hai cặp cạnh đối diện AN // BI và AB // NI, theo định nghĩa của hình bình hành, ta có thể kết luận rằng ANBI là hình bình hành.

Vậy ANBI là hình bình hành.