Để tính độ dài các đoạn \( BC \) và \( AM \) trong tam giác vuông \( ABC \) vuông ở \( A \), ta sẽ sử dụng định lý Pythagore và công thức tính độ dài trung tuyến.

### 1. Tính đoạn BC:

Tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), với \( AB = 6 \, \text{cm} \) và \( AC = 8 \, \text{cm} \). Để tính độ dài \( BC \), ta áp dụng định lý Pythagore:

\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]

\[
BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100
\]

\[
BC = \sqrt{100} = 10 \, \text{cm}
\]

### 2. Tính đoạn AM:

AM là đường trung tuyến từ đỉnh A đến cạnh BC. Độ dài đường trung tuyến được tính bằng công thức:

\[
AM = \frac{1}{2} \sqrt{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}
\]

Thay các giá trị:

\[
AM = \frac{1}{2} \sqrt{2(6^2) + 2(8^2) - 10^2}
\]

\[
AM = \frac{1}{2} \sqrt{2(36) + 2(64) - 100}
\]

\[
AM = \frac{1}{2} \sqrt{72 + 128 - 100}
\]

\[
AM = \frac{1}{2} \sqrt{100} = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 \, \text{cm}
\]

### Kết quả:

- Độ dài đoạn \( BC = 10 \, \text{cm} \)
- Độ dài đoạn \( AM = 5 \, \text{cm} \)