Chứng minh tứ giác APDQlà hình bình hành

Để chứng minh tứ giác \( APDQ \) là hình bình hành, ta sẽ lần lượt giải từng phần.

### a. Chứng minh tứ giác APDQ là hình bình hành
Cho tam giác \( ABC \) với \( D \) là một điểm tùy ý trên cạnh \( BC \). Kẻ đường thẳng song song với \( AB \) cắt cạnh \( AC \) tại \( P \) và kẻ đường thẳng song song với \( AC \) cắt cạnh \( AB \) tại \( Q \).

Theo định nghĩa hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện của tứ giác \( APDQ \) song song và bằng nhau.

- Ta có \( PD \parallel AB \) (do xây dựng) và \( QD \parallel AC \) (tương tự), nên \( AP \parallel DQ \) và \( AQ \parallel DP \).
- Bởi vì hai cặp cạnh đối diện của tứ giác \( APDQ \) đều song song với nhau, ta có:
- \( AP \parallel DQ \)
- \( AQ \parallel DP \)

Do đó, theo định nghĩa hình bình hành, ta có \( APDQ \) là hình bình hành.

### b. Chứng minh M là trung điểm của đoạn AD
Gọi \( M \) là trung điểm của \( PQ \).

Để chứng minh \( M \) là trung điểm của \( AD \), ta cần chứng minh rằng \( AM = MD \).

- Ta đã biết rằng \( QD \parallel AP \) và \( PD \parallel AQ \). Do cấu trúc song song này, ta có thể áp dụng định nghĩa của trung điểm.
- Xét tam giác \( APQ \) và \( DQ \), ta có:
- \( P \) chia đoạn \( AC \) theo tỉ lệ là \( AP : PC \)
- \( Q \) chia đoạn \( AB \) theo tỉ lệ là \( AQ : QB \)

Từ đó, từ điều kiện hai đường thẳng song song, ta có thể suy ra rằng tỉ lệ giữa các đoạn trên \( AD \) cũng sẽ giữ nguyên.

Vì vậy, \( M \) là trung điểm của \( AD \).

### c. Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác APDQ là hình chữ nhật
Để tứ giác \( APDQ \) là hình chữ nhật, cần thỏa mãn điều kiện là hai cặp cạnh song song không chỉ mà còn phải vuông góc với nhau.

Điều này có nghĩa là:
- \( PD \perp AP \)
- \( DQ \perp AQ \)

Theo định lý và tính chất các đường song song, tứ giác \( APDQ \) là hình chữ nhật khi và chỉ khi:
- Đường thẳng \( AB \) và \( AC \) phải vuông góc với nhau, tức là tam giác \( ABC \) phải là một tam giác vuông.

Điều kiện này sẽ giúp cho các điểm \( P \) và \( Q \) được xác định sao cho cạnh \( AD \) là trung trực và hai đoạn thẳng song song được xác định chính xác.

##### Tóm lại:
- \( APDQ \) là hình bình hành.
- \( M \) là trung điểm của \( AD \).
- Tứ giác \( APDQ \) là hình chữ nhật khi tam giác \( ABC \) là tam giác vuông.