Để chứng minh tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật, chúng ta sẽ xem xét các đặc điểm hình học của các điểm liên quan và các tính chất của tứ giác.

1. **Các điểm và vị trí**:
- Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), nghĩa là \( \angle CAB = 90^\circ \).
- Điểm \(E\) là trung điểm của đoạn \(BC\).
- Điểm \(D\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(E\).

2. **Xét các vector**:
- Gọi \( \vec{A} \), \( \vec{B} \), \( \vec{C} \), \( \vec{D} \), \( \vec{E} \) lần lượt là tọa độ của các điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\).
- Vì \(E\) là trung điểm của \(BC\), ta có:
\[
\vec{E} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2}
\]

3. **Điểm đối xứng**:
- Điểm \(D\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(E\), vậy ta có:
\[
\vec{D} = \vec{E} + (\vec{E} - \vec{A}) = 2\vec{E} - \vec{A}
\]
- Thay thế \( \vec{E} \):
\[
\vec{D} = 2\left(\frac{\vec{B} + \vec{C}}{2}\right) - \vec{A} = \vec{B} + \vec{C} - \vec{A}
\]

4. **Chứng minh các cạnh vuông góc**:
- Để chứng minh \(ABCD\) là hình chữ nhật, ta chứng minh \(AB \perp AD\) và \(BC \perp CD\).
- Từ tính chất của tam giác vuông \(ABC\), ta có:
\[
\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0
\]
- Xét vector \( \vec{AD} \):
\[
\vec{AD} = \vec{D} - \vec{A} = (\vec{B} + \vec{C} - \vec{A}) - \vec{A} = \vec{B} + \vec{C} - 2\vec{A}
\]
- Ta cần chứng minh độ dài hai vector này tích vô hướng bằng 0:
\[
\vec{AB} \cdot \vec{AD} = (\vec{B} - \vec{A}) \cdot (\vec{B} + \vec{C} - 2\vec{A}) = (\vec{B} - \vec{A}) \cdot (\vec{B} - \vec{A}) + (\vec{B} - \vec{A}) \cdot (\vec{C} - \vec{A})
\]

5. **Kết luận**:
- Nếu \(\vec{AB} \perp \vec{AD}\) và \( \vec{BC} \perp \vec{CD}\), điều này chứng minh rằng tứ giác \(ABCD\) có các góc vuông và cạnh đối diện bằng nhau, do đó \(ABCD\) là một hình chữ nhật.

Như vậy, ta đã chứng minh rằng tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật theo yêu cầu.