Trong bài toán này, chúng ta sẽ chứng minh tứ giác AMIN là hình chữ nhật, sau đó chứng minh hai tam giác BMI và INC bằng nhau và tứ giác AIBD là hình thoi.

**a) Chứng minh tứ giác AMIN là hình chữ nhật:**

1. Xét tam giác ABC vuông tại A. Ta có \(I\) là trung điểm của \(BC\), và do đó \(BI = IC\).

2. Gọi \(M\) là chân đường vuông góc từ \(I\) đến \(AB\) và \(N\) là chân đường vuông góc từ \(I\) đến \(AC\). Theo định nghĩa của chân đường vuông góc, ta có:
- \(IM \perp AB\)
- \(IN \perp AC\)

3. Vì \(AB\) và \(AC\) vuông góc với nhau (do tam giác ABC vuông tại A), nên \(IM\) và \(IN\) cũng vuông góc với nhau.

4. Đồng thời, do \(I\) là điểm nằm trên đường chéo \(MN\) với \(IM\) và \(IN\) là hai đường vuông góc, chúng ta có \(\angle AMI = 90^\circ\) và \(\angle ANI = 90^\circ\).

5. Khi đó, các cặp cạnh \(AM\) và \(IN\), \(AN\) và \(IM\) đều vuông góc với nhau.

6. Từ đây, ta kết luận rằng tứ giác \(AMIN\) là hình chữ nhật.

**b) Chứng minh tam giác BMI = tam giác INC và tứ giác AIBD là hình thoi:**

1. Ta có \(M\) là trung điểm của \(DI\), suy ra \(DM = MI\).

2. Xét hai tam giác \(BMI\) và \(INC\):
- Hai tam giác này đều có chung cạnh \(IM\) (cạnh giữa).
- Ta có \(BM = IN\) (vì \(M\) và \(N\) là chân đường vuông góc từ \(I\) đến các cạnh).
- Thêm vào đó, \(BI = CI\).

3. Sử dụng định lý tam giác đồng dạng, ta có:
- Suy ra \(\triangle BMI \cong \triangle INC\) và do đó:
\[
BM = IN \quad \text{và} \quad I \text{ là chung}
\]

4. Từ việc chứng minh hai tam giác ở trên, ta có các cặp cạnh đối diện (không đối diện) bằng nhau, và điều này cho thấy rằng tứ giác \(AIBD\) là hình thoi.
- Tứ giác \(AIBD\) sẽ có \(AI = BD\) và \(AB = ID\) cũng như \(AB = AD\).

5. Kết luận, từ các chứng minh trên, ta có:
- Tứ giác \(AMIN\) là hình chữ nhật.
- Tam giác \(BMI\) và tam giác \(INC\) là bằng nhau.
- Tứ giác \(AIBD\) là hình thoi.

Vậy ta đã hoàn thành các yêu cầu của đề bài.