Để hàm số \( y = 2x^3 + mx^2 + 2x \) đồng biến trên khoảng \((-2, 0)\), ta cần tính đạo hàm và xét điều kiện đồng biến.

1. **Tính đạo hàm:**
\[
y' = \frac{dy}{dx} = 6x^2 + 2mx + 2
\]

2. **Điều kiện đồng biến:**
Hàm số đồng biến trên \((-2, 0)\) khi \(y' \geq 0\) với mọi \(x \in (-2, 0)\).
Đặc biệt, ta cần kiểm tra nghiệm của đa thức bậc hai \(6x^2 + 2mx + 2\).

3. **Xét cực trị:**
Để \(y'\) không có nghiệm (hoặc nghiệm là nghiệm kép), cần có:
\[
\Delta \leq 0
\]
với \(\Delta = (2m)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 2 = 4m^2 - 48\).

Giải bất phương trình:
\[
4m^2 - 48 \leq 0 \implies m^2 \leq 12 \implies -\sqrt{12} \leq m \leq \sqrt{12} \implies -2\sqrt{3} \leq m \leq 2\sqrt{3}
\]

4. **Xác định giá trị của \(m\):**
Tính giá trị gần nhất của \(2\sqrt{3}\):
\[
2\sqrt{3} \approx 3.464
\]

Các giá trị nguyên \(m\) thỏa mãn:
\[
-2 \leq m \leq 3
\]

Những giá trị nguyên này là: \(-2, -1, 0, 1, 2, 3\).

5. **Đếm số phần tử trong tập \( S \):**
Tập \(S\) chứa 6 giá trị: \(-2, -1, 0, 1, 2, 3\).

Kết luận:
Số phần tử của tập hợp \(S\) là **6**.