Để tìm tuần thứ bao nhiêu Nam có đủ tiền để mua một cây guitar giá 567 đô la, ta sẽ tính số tiền anh ấy tiết kiệm được qua từng tuần.

- Tuần 1: 12 đô la
- Tuần 2: 15 đô la (12 + 3)
- Tuần 3: 18 đô la (15 + 3)
- Tuần 4: 21 đô la (18 + 3)
- Tuần 5: 24 đô la (21 + 3)
- Tuần 6: 27 đô la (24 + 3)
- ...

Ta nhận thấy rằng số tiền Nam tiết kiệm được mỗi tuần là một dãy số hình thành từ công thức:
\[
a_n = a_1 + (n-1) \cdot d
\]
Trong đó:
- \(a_1 = 12\) (tiền tiết kiệm tuần đầu)
- \(d = 3\) (độ tăng mỗi tuần)
- \(a_n\) là số tiền tiết kiệm tuần thứ \(n\).

Tổng số tiền Nam tiết kiệm được sau \(n\) tuần sẽ là tổng của các số hạng từ tuần 1 đến tuần \(n\):
\[
S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n = \sum_{i=1}^{n} (12 + (i-1) \cdot 3)
\]
Ta có thể tính tổng này bằng công thức tổng của một cấp số cộng:
\[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)
\]
Trong đó \(a_n = 12 + (n-1) \cdot 3 = 12 + 3n - 3 = 3n + 9\).

Do đó:
\[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (12 + (3n + 9)) = \frac{n}{2} \cdot (3n + 21) = \frac{3n^2 + 21n}{2}
\]

Chúng ta cần tìm giá trị \(n\) sao cho:
\[
\frac{3n^2 + 21n}{2} \geq 567
\]

Nhân cả hai vế với 2:
\[
3n^2 + 21n \geq 1134
\]

Chia cả hai vế cho 3:
\[
n^2 + 7n - 378 \geq 0
\]

Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm:
\[
n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
Trong đó \(a = 1\), \(b = 7\), \(c = -378\):
\[
b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-378) = 49 + 1512 = 1561
\]

Tính nghiệm:
\[
n = \frac{-7 \pm \sqrt{1561}}{2}
\]

Tính \(\sqrt{1561} \approx 39.5\):
\[
n \approx \frac{-7 + 39.5}{2} \approx 16.25
\]
Vì \(n\) là một số nguyên, ta làm tròn lên:
\[
n = 17
\]

Kiểm tra lại:
- Số tiền tiết kiệm được sau 16 tuần:
\[
S_{16} = \frac{16}{2} \cdot (12 + (3 \cdot 16 + 9)) = 8 \cdot (12 + 57) = 8 \cdot 69 = 552
\]
- Số tiền tiết kiệm được sau 17 tuần:
\[
S_{17} = \frac{17}{2} \cdot (12 + (3 \cdot 17 + 9)) = \frac{17}{2} \cdot (12 + 60) = \frac{17}{2} \cdot 72 = 17 \cdot 36 = 612
\]

Vậy, Nam cần tối thiểu **17 tuần** để có đủ tiền mua cây guitar 567 đô la.