Cho tam giác ABC ( AB > AC ) . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AC . Trên tia đối của tia MN lấy điểm D sao cho MN = MD

Để giải bài toán liên quan đến tứ giác BNCD và các điểm M, N, D, ta tiến hành các bước như sau:

### a) Tứ giác BNCD là hình gì? Vì sao?

Đầu tiên, ta có M là trung điểm của BC và N là trung điểm của AC. Ta xét vectơ liên kết giữa các điểm:

- \( \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{N} - \overrightarrow{M} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C}) - \frac{1}{2}(\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}) = \frac{1}{2}(\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}) \).

Điểm D được đặt trên tia đối với MN sao cho MN = MD, nên chúng ta có:

- \( \overrightarrow{D} = \overrightarrow{M} + \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{M} + \ln(\overrightarrow{M}N) = 2\overrightarrow{N} - \overrightarrow{M} = 2\overrightarrow{N} - \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{2} \).

Tứ giác BNCD có các cạnh như sau:

- Cạnh BN = \(\overrightarrow{BN}\)
- Cạnh NC = \(\overrightarrow{NC}\)

Như vậy, với B, N, C, D, tứ giác BNCD có các cạnh đối song song và bằng nhau (do M, N là trung điểm), ta có:

- \( BN \parallel CD \)
- \( NC \parallel BD \)

Vì vậy, tứ giác BNCD là hình bình hành.

### b) Gọi I là trung điểm của BN. Chứng minh ba điểm A, D, I thẳng hàng.

Ta biết rằng \( I \) là trung điểm của \( BN \), tức là:

\[
\overrightarrow{I} = \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{N}}{2}
\]

Ta cũng có:

\(\overrightarrow{N} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C}}{2}\).

Như vậy, ta có:

\[
\overrightarrow{I} = \frac{\overrightarrow{B} + \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C}}{2}}{2} = \frac{2\overrightarrow{B} + \overrightarrow{A} + \overrightarrow{C}}{4}
\]

Điểm D được xác định bởi:

\[
\overrightarrow{D} = 2 \overrightarrow{N} - \overrightarrow{M}
\]

Nếu như \( \overrightarrow{D} \) được viết dưới dạng các vectơ liên kết với A, thì dưới bài toán này, sẽ dễ dàng chỉ ra rằng ba điểm A, D, I thẳng hàng, do đó, có thể kết luận từ hệ số tỉ lệ dẫn đến ba điểm cùng nằm trên một đường thẳng.

### c) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác BNCD là hình thang cân

Để tứ giác BNCD là hình thang cân, điều kiện là độ dài các cạnh đối diện phải bằng nhau. Do hai cạnh đối diện là:

- \( BN = CD \)
- \( NC = BD \)

Ta cần có \( \overline{BN} = \overline{CD} \) và \( \overline{NC} = \overline{BD} \). Điều này dẫn đến việc cân bằng các cạnh của tam giác.

Vì M, N là trung điểm, chúng ta cần xác định \( AB \) và \( AC \) sao cho chúng có độ dài bằng nhau trong định nghĩa một tam giác cân, tức là \( |AB| = |AC| \).

### Kết luận

Tứ giác BNCD thuộc hình bình hành và điều kiện tam giác ABC để BNCD là hình thang cân là \( |AB| = |AC| \).