Để chứng minh biểu thức \( A = -x^2 - 8x + 11 \) luôn nhận giá trị không dương với mọi giá trị của biến \( x \), ta thực hiện như sau:

### Bước 1: Xác định dạng của biểu thức

Biểu thức \( A \) có thể viết lại dưới dạng:
\[
A = -\left(x^2 + 8x - 11\right)
\]

### Bước 2: Cách đơn giản hoá biểu thức

Ta sẽ tính bí số của đa thức trong ngoặc:
\[
x^2 + 8x - 11
\]
Để tìm nghiệm của phương trình bậc hai này, ta sử dụng công thức:
\[
D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 64 + 44 = 108
\]

### Bước 3: Tính nghiệm

Hai nghiệm của phương trình là:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm \sqrt{108}}{2}
\]
Tính giá trị nghiệm:
\[
\sqrt{108} = 6\sqrt{3}
\]
Do đó, nghiệm là:
\[
x_1 = \frac{-8 + 6\sqrt{3}}{2}, \quad x_2 = \frac{-8 - 6\sqrt{3}}{2}
\]

### Bước 4: Kiểm tra giá trị của đa thức

Vì \( A = -\left(x^2 + 8x - 11\right) \), ta thấy rằng \( A \) sẽ nhận giá trị lớn nhất khi \( x^2 + 8x - 11 \) nhỏ nhất. Vì \( D > 0 \), đa thức này có hai nghiệm, và có hình dạng một parabol mở lên.

### Bước 5: Tính giá trị cực tiểu

Vị trí giao hoà của parabol:
\[
x_{min} = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2} = -4
\]
Thay vào biểu thức \( x^2 + 8x - 11 \):
\[
A(-4) = -\left((-4)^2 + 8(-4) - 11\right)
\]
\[
= -\left(16 - 32 - 11\right) = -\left(-27\right) = 27
\]

Vì vậy, giá trị cực tiểu \( A \) được đạt là 27, do đó, biểu thức \( A \) không thể nhận giá trị âm.

### Kết luận

Do đó, ta có thể kết luận rằng \( A = -x^2 - 8x + 11 \) luôn nhận giá trị không âm với mọi giá trị của biến \( x \).

---

**Phần b:**

Để chứng minh rằng với \( n \) là số tự nhiên chẵn, biểu thức \( Q = (3n + 4)^2 - 16 \) luôn chia hết cho 6, ta tiến hành như sau:

### Bước 1: Viết lại biểu thức Q
\[
Q = (3n + 4)^2 - 16 = (3n + 4 - 4)(3n + 4 + 4) = (3n)(3n + 8)
\]

### Bước 2: Chứng minh nó chia hết cho 6
Với \( n \) là số tự nhiên chẵn, ta có thể nói rằng \( 3n \) sẽ chia hết cho 3.

#### Kiểm tra với số 2
Vì \( n \) chẵn, \( 3n \) cũng là một số chẵn, vì thế \( 3n + 8 \) chắc chắn là số chẵn.

### Kết luận

Vậy \( Q = 3n(3n + 8) \) luôn chia hết cho \( 6 \) vì nó có một yếu tố chia hết cho 2 và một yếu tố chia hết cho 3.