Tính: 2^100 - 2^99 + 2^98... - 2

Để tính giá trị của biểu thức \(2^{100} - 2^{99} + 2^{98} - 2^{97} + \ldots - 2\), trước hết chúng ta có thể nhóm các hạng tử lại để dễ xử lý hơn.

Biểu thức có thể được viết lại như sau:

\[
S = 2^{100} - 2^{99} + 2^{98} - 2^{97} + 2^{96} - \ldots - 2
\]

Chúng ta có thể chia biểu thức thành hai nhóm hạng tử: các hạng tử dương và các hạng tử âm.

Những hạng tử dương là: \(2^{100}, 2^{98}, 2^{96}, \ldots\)

Những hạng tử âm là: \(2^{99}, 2^{97}, 2^{95}, \ldots, 2\)

Số lượng hạng tử dương là \((100/2) + 1 = 51\) hạng tử, và số lượng hạng tử âm là \((99/2) + 1 = 50\) hạng tử.

Chúng ta nhóm lại các hạng tử:

\[
S = (2^{100} - 2^{99}) + (2^{98} - 2^{97}) + (2^{96} - 2^{95}) + \ldots + (2^2 - 2^1) - 2^0
\]

Mỗi nhóm sẽ có dạng:

\[
2^{2n} - 2^{2n-1} = 2^{2n-1} \cdot (2 - 1) = 2^{2n-1}
\]

Khi n bằng 50, nhóm đầu tiên là:

- \(2^{100} - 2^{99} = 2^{99}\)
- \(2^{98} - 2^{97} = 2^{97}\)
- \(2^{96} - 2^{95} = 2^{95}\)
- ...
- \(2^2 - 2^1 = 2^1\)

Do đó đạt được tổng:

\[
S = 2^{99} + 2^{97} + 2^{95} + \ldots + 2^1 - 1
\]

Tổng của chuỗi này là một chuỗi hình học với công bội là \(\frac{1}{4}\):

\[
\text{S} = 2^1 \left(\frac{1 - \left(\frac{1}{4}\right)^{50}}{1 - \frac{1}{4}}\right)
\]

Ta tính:

\[
= 2 \cdot \left(\frac{1 - \frac{1}{4^{51}}}{\frac{3}{4}}\right) = \frac{8}{3} \left(1 - \frac{1}{4^{51}}\right)
\]

Kết hợp lại và loại bỏ \( - 1 \):

Cuối cùng có:

S = \frac{8}{3} \left(1 - \frac{1}{4^{51}}\right) - 1

Kết quả cuối cùng là:

\[
S = \frac{8}{3} - 1 = \frac{8}{3} - \frac{3}{3} = \frac{5}{3}
\]

Vậy giá trị cuối cùng của biểu thức là:

\[
\boxed{\frac{5}{3}}.
\]