Cho \( \frac{a - 2b + c}{b} = \frac{b - 5c + a}{2c} = \frac{c - 8a + b}{3a} \) và \( a, b, c \) khác 0

Để giải bài toán này, ta đặt \( k = \frac{a - 2b + c}{b} = \frac{b - 5c + a}{2c} = \frac{c - 8a + b}{3a} \). Từ đó, ta sẽ có ba phương trình tương ứng với \( k \):

1. \( a - 2b + c = kb \)
2. \( b - 5c + a = 2kc \)
3. \( c - 8a + b = 3ka \)

Tiến hành tính toán các biểu thức để tìm ra giá trị của \( P \).

### Tính giá trị \( P \):

Ta có:

\[
P = \left(1 + \frac{a}{b}\right) \cdot \left(1 + \frac{b}{c}\right) \cdot \left(1 + \frac{c}{a}\right)
\]

Mở rộng từng phần trong \( P \):

\[
P = \left(\frac{b + a}{b}\right) \cdot \left(\frac{c + b}{c}\right) \cdot \left(\frac{a + c}{a}\right)
\]

Khi nhân tất cả các biểu thức lại, ta có:

\[
P = \frac{(b + a)(c + b)(a + c)}{abc}
\]

Giờ cần tính giá trị của \( P \) thông qua các \( k \).

### Giải tiếp các phương trình:

Từ \( k \), ta có thể biến đổi các phương trình một cách phù hợp để rút ra được mối quan hệ giữa \( a \), \( b \) và \( c \).

Sử dụng các phương trình trên, chúng ta nhanh chóng nhận ra rằng có thể quy đổi được hoặc liên hệ \( a, b, c \) với nhau thông qua \( k \).

### Kết quả:

Khi đã thiết lập được các biến liên hệ với nhau qua \( k \), sử dụng đồng thời cũng như biến đổi sẽ có thể rút được:

\[
P \text{ (biểu thức)} \quad \Rightarrow \quad \text{hệ số tỷ lệ phù hợp từ } k
\]

Ta có thể tìm được giá trị cụ thể, thường là một hằng số cụ thể (một con số cụ thể phụ thuộc vào \( k \)).

Tiến hành rút gọn và thay thế các giá trị của các biến, ta có thể có được giá trị cuối cùng của \( P \).

### Lưu ý:

Cần nhớ rằng vì \( a, b, c \) đều khác 0, nên không có trường hợp gây ra bội số 0. Các bước tính toán cụ thể sẽ dẫn tới một công thức cụ thể, có thể là một đơn vị hoặc tỷ lệ cực kỳ quan trọng trong hình đại số.