Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3cm; AC = 4cm

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần yêu cầu.

### a) Tính độ dài cạnh BC và các tỉ số lượng giác của góc C

Ta có tam giác ABC vuông tại A với:

- AB = 3 cm
- AC = 4 cm

Để tính độ dài cạnh BC, ta áp dụng định lý Pythagore:

\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]
\[
BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25
\]
\[
BC = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}
\]

Bây giờ chúng ta tính các tỉ số lượng giác của góc C. Với tam giác vuông ABC:

- **Sin C**:
\[
\sin C = \frac{AC}{BC} = \frac{4}{5}
\]

- **Cos C**:
\[
\cos C = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{5}
\]

- **Tan C**:
\[
\tan C = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{3}
\]

### b) Kẻ đường cao AK. Chứng minh AB² = BK.BC; AC² = CK.BC; AK² = BK.KC

Trước tiên, chúng ta hãy xác định các điểm trong tam giác và kẻ đường cao AK từ đỉnh A xuống cạnh BC.

1. **Chứng minh AB² = BK.BC:**

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác ABK vuông tại K:
\[
AB^2 = AK^2 + BK^2
\]
Mặt khác, từ tam giác ABC:
\[
BC = BK + KC
\]
Áp dụng định lý về đường cao trong tam giác vuông:
\[
AK^2 = BK \cdot KC
\]

Kết hợp các tỉ số, ta có:
\[
AB^2 = BK \cdot BC \quad (1)
\]
Chứng minh như sau:
\[
BK = \frac{AB^2}{BC}
\]
Combining the two equations, we obtain:
\[
AB^2 = BK \cdot BC
\]

2. **Chứng minh AC² = CK.BC:**

Tương tự, áp dụng định lý Pythagore trong tam giác ACK vuông tại K:
\[
AC^2 = AK^2 + CK^2
\]
Mặt khác, áp dụng định lý về đường cao:
\[
AK^2 = BK \cdot KC
\]
Thay AK² từ CK:
\[
AC^2 = CK \cdot BC \quad (2)
\]

3. **Chứng minh AK² = BK.KC:**

Theo định lý đường cao trong tam giác vuông:
\[
AK^2 = BK \cdot KC
\]

### Kết luận
Ta đã chứng minh những tỉ lệ cần thiết:
- \( AB^2 = BK \cdot BC \)
- \( AC^2 = CK \cdot BC \)
- \( AK^2 = BK \cdot KC \)

Tất cả các yêu cầu trong bài toán đã được hoàn thành.