Gọi số bút mà mẹ An mua là \( x \) và số quyển vở là \( y \).

Ta có hệ phương trình sau:

1. Giá bút và vở:
\[
17x + 5y = 165
\]

2. Các giá trị của \( x \) và \( y \) phải là số nguyên không âm.

Bây giờ, ta sẽ tìm giá trị của \( x \) và \( y \).

Đầu tiên, ta có thể biến đổi phương trình trên để tìm y theo x:

\[
5y = 165 - 17x
\]
\[
y = \frac{165 - 17x}{5}
\]

Để \( y \) là một số nguyên, biểu thức \( 165 - 17x \) phải chia hết cho 5. Ta xét \( 165 \) và \( 17x \) theo modulo 5:

- \( 165 \mod 5 = 0 \) (vì \( 165 = 5 \times 33 \))
- \( 17 \mod 5 = 2 \) (vì \( 17 = 5 \times 3 + 2 \))
- Vậy \( 17x \mod 5 = 2x \mod 5 \)

Ta có:

\[
165 - 17x \equiv 0 \mod 5 \rightarrow 0 - 2x \equiv 0 \mod 5 \rightarrow 2x \equiv 0 \mod 5
\]

Điều này có nghĩa là \( x \) phải là một bội số của 5. Gọi \( x = 5k \) (với \( k \) là số nguyên không âm). Thay vào phương trình ban đầu:

\[
17(5k) + 5y = 165
\]
\[
85k + 5y = 165
\]
\[
5y = 165 - 85k
\]
\[
y = 33 - 17k
\]

Bây giờ, ta tìm các giá trị của \( k \) sao cho \( y \) vẫn là số nguyên không âm:

1. \( y \geq 0 \) => \( 33 - 17k \geq 0 \) => \( k \leq \frac{33}{17} \approx 1.94 \)

Vậy \( k \) có thể nhận các giá trị \( k = 0 \) hoặc \( k = 1 \).

- Nếu \( k = 0 \):
- \( x = 5 \times 0 = 0 \) (số bút)
- \( y = 33 - 17 \times 0 = 33 \) (số quyển vở)

- Nếu \( k = 1 \):
- \( x = 5 \times 1 = 5 \) (số bút)
- \( y = 33 - 17 \times 1 = 16 \) (số quyển vở)

Tóm lại, có hai khả năng:

1. Mẹ An mua **0 cái bút** và **33 quyển vở**.
2. Mẹ An mua **5 cái bút** và **16 quyển vở**.

Do đó, đáp án là: Mẹ đã mua cho An **5 cái bút** và **16 quyển vở**.