Để chứng minh rằng \( A \) chia hết cho 21, trước tiên ta tính giá trị của \( A \).

Đoạn tổng này là một cấp số nhân với số hạng đầu là 1 (tương đương \( 4^0 \)) và công bội là 4, có số hạng cuối là \( 4^{98} \). Số lượng số hạng trong tổng này là 99.

Áp dụng công thức tổng của một cấp số nhân, ta có:

\[
A = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}
\]

trong đó:
- \( a_1 = 1 \)
- \( r = 4 \)
- \( n = 99 \)

=>

\[
A = \frac{1(1 - 4^{99})}{1 - 4} = \frac{1 - 4^{99}}{-3} = \frac{4^{99} - 1}{3}
\]

Giờ chúng ta sẽ chứng minh rằng \( A \) chia hết cho 21.

Để chứng minh \( A \equiv 0 \mod 21 \), ta sẽ xem xét 3 và 7 (vì \( 21 = 3 \times 7 \)).

### Bước 1: Xét theo modulo 3

Chúng ta cần tính \( 4^{99} \mod 3 \).

Thực hiện phép biến đổi:

\[
4 \equiv 1 \mod 3 \implies 4^{99} \equiv 1^{99} \equiv 1 \mod 3
\]

=>

\[
4^{99} - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \mod 3
\]

Do đó \( 4^{99} - 1\) chia hết cho 3.

Vậy,

\[
A = \frac{4^{99} - 1}{3} \quad \text{chia hết cho 3.}
\]

### Bước 2: Xét theo modulo 7

Chúng ta cần tính \( 4^{99} \mod 7 \).

Sử dụng luật đồng dư, ta thấy:

\[
4^1 \equiv 4 \mod 7
\]
\[
4^2 \equiv 16 \equiv 2 \mod 7
\]
\[
4^3 \equiv 8 \equiv 1 \mod 7
\]

Chúng ta thấy rằng \( 4^3 \equiv 1 \mod 7 \), tức là lặp lại mỗi 3 bậc.

Ta tính \( 99 \mod 3 \):

\[
99 \div 3 = 33 \Rightarrow 99 \mod 3 = 0
\]

=>

\[
4^{99} \equiv (4^3)^{33} \equiv 1^{33} \equiv 1 \mod 7
\]

Vậy \( 4^{99} - 1 \) cũng chia hết cho 7:

\[
4^{99} - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \mod 7
\]

Do đó, \( A \) chia hết cho 7.

### Kết luận

Vì \( A \) chia hết cho 3 và 7, suy ra \( A \) chia hết cho \( 21 \).

\[
\therefore A \equiv 0 \mod 21
\]

Chứng minh hoàn tất!