Cho tứ giác ABCD có góc A = góc B và góc C = góc D. Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân

Để chứng minh rằng tứ giác ABCD có góc A = góc B và góc C = góc D là hình thang cân, ta sẽ tiến hành phân tích và sử dụng các tính chất của hình học.

1. **Định nghĩa hình thang cân**:
Hình thang cân là hình thang có hai cạnh bên bằng nhau. Gọi hai cạnh song song là AB và CD, chúng ta cần chứng minh rằng AC = BD (các cạnh bên).

2. **Các giả thiết và tính chất góc**:
Theo giả thiết đã cho:
- \( \angle A = \angle B \)
- \( \angle C = \angle D \)

3. **Chúng ta xác lập một số tính chất**:
Gọi \( AB \) và \( CD \) là hai cạnh song song. Theo định lý góc so le trong, ta có:
- \( \angle A + \angle D = 180^\circ \)
- \( \angle B + \angle C = 180^\circ \)

Từ đó, ta có thể thay thế bằng các giá trị góc:
- \( \angle D = 180^\circ - \angle A \)
- \( \angle C = 180^\circ - \angle B \)

4. **Sử dụng tam giác**:
Xét hai tam giác \( \triangle ABC \) và \( \triangle DAB \):
- Cả hai tam giác này có chung cạnh \( AB \).
- Với góc A và góc B bằng nhau, nên góc BCA (góc ngoài) và góc DAB cũng bằng nhau.
- Theo giả thiết, góc C và góc D cũng bằng nhau.

5. **Từ tính chất của góc**:
- Sử dụng định lý trong tam giác, chúng ta nhận thấy rằng nếu cả hai tam giác này có hai cặp góc tương ứng bằng nhau, thì các cạnh còn lại tương ứng của chúng cũng sẽ bằng nhau. Cụ thể là:
\[
AC = BD
\]

6. **Kết luận**:
Vì chiều dài của các cạnh bên còn lại bằng nhau (\( AC = BD \)), nên tứ giác ABCD thoả mãn điều kiện của hình thang cân.

Từ đó, ta đi đến kết luận rằng tứ giác ABCD là hình thang cân.