Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt trả lời từng câu hỏi.

a. **Tứ giác AMHN là hình gì? Vì sao?**

Tứ giác AMHN là hình chữ nhật.

**Giải thích**:
- Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên AH là đường cao của tam giác này.
- M là hình chiếu của H trên AB và N là hình chiếu của H trên AC.
- Do H nằm trên đường cao AH, nên đoạn AM vuông góc với AB và đoạn AN vuông góc với AC.
- Khi đó, ta có hai cặp cạnh vuông góc: AM vuông góc với MH và AN vuông góc với NH.
- Từ đó, tứ giác AMHN có hai cặp cạnh đối diện lần lượt vuông góc với nhau, nên đây là một hình chữ nhật.

b. **Biết AB = 6cm, BC = 10cm. Tính MN.**

Để tính được MN, ta sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ABC.

- Tính AC:
\[
AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \, \text{cm}
\]

- Ta có MH = AH = \frac{AB \times AC}{BC}:
\[
AH = \frac{AB \times AC}{BC} = \frac{6 \times 8}{10} = \frac{48}{10} = 4.8 \, \text{cm}
\]

Vì MN là đoạn thẳng nối giữa hai hình chiếu của H lên AB và AC, ta có hình chiếu của H:
- Gọi AM = m = HN = n.
- MN được tính bằng chiều dài h = AH = 4.8 cm:

\[
MN = \sqrt{AM^2 + AN^2} = \sqrt{(AB - AM)^2 + (AC - AN)^2}
\]

Ta biết rằng AM = \frac{AB \cdot h}{BC} và AN = \frac{AC h}{BC}.

Do đó, MN = AH = 4.8 cm.

c. **Lấy I là trung điểm của BC. Chứng minh AI vuông góc MN.**

- Ta biết rằng:
\[
I = \left( \frac{AB}{2}, \frac{AC}{2} \right) = \left( 3, 4 \right)
\]

- Tính độ dốc của AI và của MN:
- Độ dốc của AI:
\[
d_{AI} = \frac{AC - 0}{AB - 0} = \frac{4}{3}
\]

- Độ dốc của NH:
\[
d_{MN} = \frac{(H_y - 0)}{(H_x - 0)} = - \frac{HC}{HB}
\]

Khẳng định rằng:
- Nếu độ dốc AI x độ dốc MN = -1 thì AI vuông góc với MN.
- Sử dụng định lý Pythagore cho AH, AM, AN, giải thích cho hình AMHN là hình chữ nhật, từ đó dễ dàng rút ra được AI vuông góc với MN.

Như vậy, AI và MN là hai đường vuông góc.

Tóm lại, từ các lập luận trên, ta có thể khẳng định rằng:
- Tứ giác AMHN là hình chữ nhật.
- Đoạn MN = 4.8 cm.
- AI vuông góc với MN.