Để giải bài toán này, ta xem xét hàm số

\[
y = \frac{ax + b}{x + c}
\]

Hàm số này có các đặc điểm như sau:

1. **Tiệm cận đứng:** Đường tiệm cận đứng của hàm số xảy ra khi mẫu bằng 0, tức là \( x + c = 0 \), hay \( x = -c \).
2. **Tiệm cận ngang:** Đường tiệm cận ngang được xác định bởi giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến ra vô cực. Khi \( x \) rất lớn (hoặc rất nhỏ), \( y \approx \frac{a}{1} = a \). Vậy tiệm cận ngang là \( y = a \).

### Xét đồ thị

Quan sát đồ thị cho thấy:

- Đường tiệm cận đứng nằm ở \( x = -c \).
- Đường tiệm cận ngang có giá trị \( y = a \).

### Tính toán các hệ số

Theo biểu đồ:
- Đường tiệm cận đứng trông có vẻ xuất hiện ở khoảng \( x = -1 \), do đó ta có:

\[
-c = -1 \Rightarrow c = 1
\]

- Đường tiệm cận ngang dường như nằm ở vị trí \( y = 1 \), do đó \( a = 1 \).

### Tính b

Để tìm \( b \), ta cần tìm giá trị của hàm số tại một số điểm cụ thể. Ví dụ tại \( x = 0 \):

\[
y(0) = \frac{b}{c} = \frac{b}{1} = b
\]

Từ đồ thị, tại \( x = 0 \),
- Giá trị \( y(0) \) có thể là \( 2 \). Ta xác định:

\[
b = 2
\]

### Tính giá trị cần tìm

Bây giờ ta có:

- \( a = 1 \)
- \( b = 2 \)
- \( c = 1 \)

Tính tổng \( S = a^3 + b^3 + c^3 \):

\[
S = 1^3 + 2^3 + 1^3 = 1 + 8 + 1 = 10
\]

### Kết quả

Vậy tổng \( S = 10 \).