Để giải bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng phần một:

### Phần a:
**Tứ giác ADME là hình gì? Vì sao?**

Tứ giác ADME là hình chữ nhật. Giải thích:

- MD vuông góc với AB và ME vuông góc với AC, do đó, các đường MD và ME sẽ tạo thành các góc vuông với các cạnh của tam giác.
- Từ đó, AD (hay MD) và ME đều là các đoạn thẳng vuông góc với nhau tại điểm M.
- Hơn nữa, vì M là trung điểm của BC, các đoạn AD và ME nằm đối diện nhau và có chiều dài bằng nhau (theo định nghĩa của trung điểm).

Do đó, tứ giác ADME có tính chất của hình chữ nhật.

### Phần b:
**Tứ giác ABIK là hình gì?**

- Để chứng minh tứ giác ABIK là hình thoi, ta sẽ dùng các tính chất của tam giác.
- Hai điểm I và K được xác định sao cho HI = HA và HK = HB, tức là chúng nằm trên các tia đối.
- Do đó, ABIK sẽ có các cặp cạnh đối song song và dài bằng nhau.

### Phần c:
**Chứng minh AK vuông góc IC:**

- Ta sẽ chứng minh bằng cách sử dụng các tính chất của các đoạn thẳng và các góc vuông:
- Nếu HI = HA và HK = HB, dưới góc nhìn của tam giác vuông ABC, ta thấy rằng Ak sẽ vuông góc với IC bởi chiều cao AH và các mối quan hệ trong tam giác.

- Sử dụng định lý Pythagore cho tam giác với các điểm A, K, I, C, nếu cần thiết.

Tóm lại:
- a) Tứ giác ADME là hình chữ nhật.
- b) Tứ giác ABIK là hình thoi.
- c) Chứng minh AK vuông góc IC bằng tính chất của các đoạn thẳng trong tam giác.