Cho hình bình hành ABCD có AB = a, AC=a√5, biết góc DCB = 120 độ. Tính vectơ CB

Để tính vectơ \( \vec{CB} \) trong hình bình hành \( ABCD \), chúng ta có thể sử dụng các thông tin đã cho.

Gọi các điểm:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(a, 0) \)
- \( D(x, y) \)
- \( C(x + a, y) \)

Trong đó, \( D \) là điểm nằm trên đường thẳng nối \( A \) và \( D \) kéo dài ra phía ngoài.

1. **Tính vectơ \( \vec{AC} \)**: Vì \( AC = a\sqrt{5} \), chúng ta có:
\[
AC = \sqrt{(x + a)^2 + y^2} = a\sqrt{5}
\]
Khi bình phương cả hai vế, ta có:
\[
(x + a)^2 + y^2 = 5a^2
\]

2. **Sử dụng góc \( DCB = 120^\circ \)**: Theo định nghĩa, góc \( DCB = 120^\circ \) tức là:
\[
\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}
\]
Có thể viết vectơ \( \vec{CD} \) sẽ tạo thành một góc với vectơ \( \vec{CB} \). Sử dụng công thức:
\[
\vec{CB} \cdot \vec{CD} = |\vec{CB}| |\vec{CD}| \cos(120^\circ)
\]
Để áp dụng vào công thức này, trước tiên, ta cần tìm kích thước và hướng của các vectơ.

3. **Tìm kích thước của \( \vec{CB} \)**:
- Vectơ \( \vec{CB} = C - B = (x + a - a, y) = (x, y) \)
- Vectơ \( \vec{CD} = D - C = (x - (x + a), y - y) = (-a, 0) \)

4. **Tính độ dài của các vectơ**:
\[
|\vec{CB}| = \sqrt{x^2 + y^2}
\]
\[
|\vec{CD}| = a
\]

5. **Áp dụng công thức điểm 2**:
\[
(x, y) \cdot (-a, 0) = \sqrt{x^2 + y^2} \cdot a \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)
\]
Ta có:
\[
-ax = -\frac{1}{2} a\sqrt{x^2 + y^2}
\]
Rút gọn sẽ cho ra:
\[
x = \frac{1}{2} \sqrt{x^2 + y^2}
\]
Hay \( x^2 = \frac{1}{4}(x^2 + y^2) \) tương ứng với:
\[
4x^2 = x^2 + y^2 \Rightarrow 3x^2 = y^2 \Rightarrow y = \sqrt{3}x
\]

6. **Áp dụng vào phương trình từ vectơ \( AC \)**:
Từ \( (x + a)^2 + y^2 = 5a^2 \):
Thay \( y = \sqrt{3}x \):
\[
(x + a)^2 + 3x^2 = 5a^2
\]
\[
4x^2 + 2ax + a^2 = 5a^2 \Rightarrow 4x^2 + 2ax - 4a^2 = 0
\]

7. **Giải phương trình bậc 2**:
Sử dụng công thức nghiệm:
\[
\Delta = b^2 - 4ac = (2a)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-4a^2) = 4a^2 + 64a^2 = 68a^2
\]
Nghiệm \( x \):
\[
x = \frac{-2a \pm \sqrt{68a^2}}{8} = \frac{-2a \pm 2\sqrt{17}a}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{4} a
\]

8. **Tính vectơ CB**:
Cuối cùng, ta sẽ tính lại \( y \) và suy ra vectơ \( CB \):
\[
y = \sqrt{3}x = \sqrt{3}\left(\frac{-1 \pm \sqrt{17}}{4}a\right)
\]

Sau cùng, vectơ \( CB \) được thể hiện như sau:
\[
\vec{CB} = (x, y)
\]
Nhập cụ thể các giá trị bạn muốn để có được một kết quả định hướng chính xác hơn.