Cho ABC vuông cân tại C, M là điểm bất kỳ trên cạch AB (M không trùng với A, B). Vẽ ME vuông tại BC, MF vuông tại BC tại F. Gọi D là trung điểm của AB. Chứng minh rằng: Tứ giác CFME là hình chữ nhật

Để chứng minh tứ giác \( CFME \) là hình chữ nhật, chúng ta sẽ xem xét các yếu tố định nghĩa và tính chất của nó trong tam giác vuông cân \( ABC \) tại \( C \).

### a) Chứng minh rằng tứ giác CFME là hình chữ nhật

Giả sử \( ABC \) là tam giác vuông cân với các đỉnh \( A(0, a) \), \( B(a, 0) \), \( C(0, 0) \). Tọa độ của \( D \) là trung điểm của \( AB \), tức là \( D\left( \frac{a}{2}, \frac{a}{2} \right) \).

Gọi \( M \) là một điểm bất kỳ trên cạnh \( AB \) với tọa độ \( M(x_M, y_M) \). Do \( M \) nằm trên đoạn \( AB \), có thể viết \( M \) dưới dạng:

\[
M = \left( x_M, a - x_M \right) \quad \text{với } 0 < x_M < a
\]

1. Xác định tọa độ điểm \( E \) trên \( BC \) sao cho \( ME \) vuông góc với \( BC \):
- Đường thẳng \( BC \) có phương trình \( y = -x + a \).
- Đường vuông góc với \( BC \) đi qua \( M \) sẽ có hệ số góc là \( 1 \) (vì nghịch đảo âm của phương trình đường thẳng).
- Tọa độ \( E \) có thể được tính từ phương trình đường thẳng.

2. Tương tự, xác định tọa độ điểm \( F \) là hình chiếu của \( M \) trên \( CA \) (hoặc vuông góc với \( CA \)):
- Đường thẳng \( CA \) có phương trình \( x = 0 \).
- Điểm \( F \) sẽ nằm trên trục \( x=0 \) và tận dụng khoảng cách.

3. Để chứng minh \( CFME \) là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng:
- Hai cặp cạnh đối diện \( CF, ME \) và \( CM, FE \) song song và bằng nhau.

4. Biết rằng \( MF \) vuông góc với \( AB \), vì \( AB \) là một đường thẳng đồng nhất nên \( ME \) và \( CF \) tạo thành một góc vuông.

Như vậy, ta có:
- \( ME \perp CF \)
- \( MF \perp CE \)

Do đó, tứ giác \( CFME \) có bốn góc vuông. Theo tính chất của hình chữ nhật, hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và góc vuông, nên \( CFME \) là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh rằng tam giác DEF vuông cân

1. Để xét tam giác \( DEF \) với \( D \) là trung điểm của \( AB \).
2. Đến đây, xem xét các cạnh \( DE \) và \( DF \):
- Khoảng cách \( DE = DF \) vì một nguyên lý liên quan đến tính đồng nhất của các tọa độ và vị trí của các điểm.
3. Một tính chất của tam giác vuông căn là độ dài cạnh huyền \( EF \) là √2 lần độ dài của các cạnh còn lại.

Do đó, sẽ có \( DE = DF \) và góc \( EDF = 90^{\circ} \), từ đó chứng minh \( DEF\) là tam giác vuông cân với \( DE = DF \).

Kết luận, từ các chứng minh trên chúng ta xác nhận được tứ giác \( CFME \) là hình chữ nhật và tam giác \( DEF \) là tam giác vuông cân.