Để chứng minh rằng \( A = 1 + 3^1 + 3^2 + \ldots + 3^{23} \) chia hết cho 13, ta có thể sử dụng công thức tổng của một cấp số nhân.

Cấp số nhân này có công bội là \( 3 \) và số hạng đầu tiên là \( 1 \). Tổng của cấp số nhân có \( n \) số hạng được tính như sau:

\[
S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}
\]

Trong đó:
- \( a \) là số hạng đầu tiên (ở đây là \( 1 \)),
- \( r \) là công bội (ở đây là \( 3 \)),
- \( n \) là số hạng (ở đây là \( 24 \)).

Áp dụng vào trường hợp này, ta có:

\[
A = \frac{1(1 - 3^{24})}{1 - 3} = \frac{1 - 3^{24}}{-2} = \frac{3^{24} - 1}{2}
\]

Bây giờ, ta cần chứng minh rằng \( A \) chia hết cho 13. Để làm điều này, ta sẽ khảo sát \( 3^{24} \mod 13 \).

Theo định lý Fermat, vì \( 3 \) và \( 13 \) là hai số nguyên tố cùng nhau, ta có:

\[
3^{12} \equiv 1 \mod 13
\]

Vì vậy, để tính \( 3^{24} \mod 13 \):

\[
3^{24} = (3^{12})^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \mod 13
\]

Vậy:

\[
3^{24} - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \mod 13
\]

Khi đó:

\[
\frac{3^{24} - 1}{2} \equiv \frac{0}{2} \equiv 0 \mod 13
\]

Điều này có nghĩa là \( A \equiv 0 \mod 13 \), tức là \( A \) chia hết cho 13.

Vậy ta có thể kết luận rằng:

\[
A = 1 + 3^1 + 3^2 + \ldots + 3^{23} \text{ chia hết cho } 13.
\]