Để giải bài tập này, ta sẽ phân tích từng phần một.

### a) Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao?

**Đáp án:** Tứ giác AEHF là hình chữ nhật.

**Giải thích:**
- Trong tam giác vuông ABC, AH là đường cao từ A xuống cạnh BC. Do đó, H là điểm chân đường cao.
- Các đường thẳng HE và HF đều vuông góc với các cạnh AB và AC, nên ∠EHA = 90° và ∠FHA = 90°.
- Hơn nữa, AE song song với HF (do cả hai đều vuông góc với cùng một cạnh AB) và EH song song với AF (tương tự, do cả hai đều vuông góc với AC).
- Do đó, AEHF thỏa mãn các điều kiện của hình chữ nhật.

### b) Gọi O là trung điểm của AH. Chứng minh O là trung điểm của đoạn thẳng EF.

**Giải thích:**
- Vì H là chân đường cao của tam giác vuông AHB và AHC, nên H chia AH thành hai đoạn HA và HH.
- O là trung điểm của AH nên AO = OH.
- Khi kẻ EF vuông góc với AB tại E và vuông góc với AC tại F, ta có:
- Điểm F nằm trên đường thẳng AC và E nằm trên đường thẳng AB, do đó HF và HE tạo thành hai đoạn thẳng có độ dài bằng nhau từ H đến EF.
- Suy ra, O cũng là trung điểm của đoạn EF.

### c) Gọi M là trung điểm của HC. Kẻ MI song song với AH (I thuộc AC). Lấy điểm K sao cho M là trung điểm của đoạn KI. Chứng minh tứ giác HICK là hình thoi.

**Giải thích:**
- Để chứng minh HICK là hình thoi, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện của tứ giác này bằng nhau và song song.
- Gọi N là chân đường vuông góc từ H đến AC. Bởi vì ∠HIC = ∠HIM = 90°, HI sẽ vuông góc với IG.
- Do M là trung điểm của HC, nên MH = MC. Lại có MI song song với AH và MI = AH (tương ứng với đoạn thẳng từ H đến I).
- Cũng do M là trung điểm của KI và H, I nằm trên cùng đoạn thẳng với tỉ lệ thuận, nên HK = CI.
- Suy ra, HICK có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và song song với nhau, chứng minh rằng tứ giác HICK là hình thoi.

Hy vọng điều này sẽ giúp bạn hoàn thành được phần bài tập này!