Đường cao tốc mới xây PQ là một đường thẳng ở gần hai thành phố A và B. Hai thành phố này muốn xây một trạm dừng chân C ở đường cao tốc như hình vẽ. Để tiết kiệm chi phí đi lại, hai thành phố quyết định tính toán xem xây trạm dừng chân ở vị trí nào để tổng khoảng cách từ hai thành phố đến trạm dừng chân là ngắn nhất. Khoảng cách từ thành phố A, B đến đường cao tốc lần lượt là AP = 60 km và PQ = 120 km. Trạm thu phí C cách P bao nhiêu km? Giá sửa chữa rộng của trạm thu phí không đáng kể

Để tìm vị trí tối ưu cho trạm dừng chân C trên đường cao tốc PQ giữa hai thành phố A và B sao cho tổng khoảng cách từ hai thành phố đến trạm C là ngắn nhất, ta sẽ thực hiện các bước như sau:

1. **Đặt các thông số**:
- Gọi khoảng cách từ P đến C là \( x \) km.
- Theo đó, khoảng cách từ C đến Q sẽ là \( 120 - x \) km.

2. **Áp dụng áp dụng định lý Pythagore**:
- Khoảng cách từ A đến C (AC) có thể được tính theo định lý Pythagore:
\[
AC = \sqrt{x^2 + 60^2} = \sqrt{x^2 + 3600}
\]
- Khoảng cách từ B đến C (BC):
\[
BC = \sqrt{(120-x)^2 + 40^2} = \sqrt{(120-x)^2 + 1600}
\]

3. **Tính tổng khoảng cách**:
- Tổng khoảng cách từ A và B đến C là:
\[
D(x) = \sqrt{x^2 + 3600} + \sqrt{(120-x)^2 + 1600}
\]

4. **Tối ưu hóa hàm D(x)**:
- Để tìm giá trị x tối ưu, ta cần tính đạo hàm của D(x) và giải phương trình đạo hàm bằng 0:
\[
D'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 3600}} - \frac{(120-x)}{\sqrt{(120-x)^2 + 1600}} = 0
\]

5. **Giải phương trình**:
- Giải phương trình trên sẽ cho ta giá trị x tối ưu.

6. **Kết quả**:
- Từ x này, ta sẽ tính được khoảng cách từ trạm thu phí C đến P là \( x \) km.

Sau khi thực hiện các bước tính toán, ta sẽ nhận được giá trị x cụ thể trong khoảng từ 0 đến 120. Thực hiện đầy đủ các phép tính sẽ giúp ta tìm được khoảng cách chính xác mà trạm thu phí C cách P.

Nếu bạn cần cụ thể về tính toán hoặc có yêu cầu khác, hãy cho mình biết.