Bài toán này yêu cầu chứng minh một số tính chất hình học trong tam giác vuông. Ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết.

### a) Chứng minh ANOM là hình chữ nhật

1. **Định nghĩa các điểm và tính chất:**
- \( O \) là trung điểm của \( BC \).
- \( OM \) vuông góc với \( AB \) tại \( M \) → \( OM \perp AB \).
- \( ON \) vuông góc với \( AC \) tại \( N \) → \( ON \perp AC \).

2. **Chứng minh các góc:**
- Vì \( OM \perp AB \) và \( ON \perp AC \) nên:
- \( \angle OMA = 90^\circ \)
- \( \angle ONA = 90^\circ \)

3. **Chứng minh ANOM là hình chữ nhật:**
- Tứ giác \( ANOM \) có 2 cặp góc vuông:
- \( \angle OMA = 90^\circ \)
- \( \angle ONA = 90^\circ \)
- Do đó, theo định nghĩa của hình chữ nhật, \( ANOM \) là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh AOCD là hình thoi

1. **Lập điểm D:**
- Lấy điểm \( D \) trên tia đối của \( ON \) sao cho \( NO = ND \).

2. **Chứng minh AOCD là hình thoi:**
- Do \( NO = ND \) và \( O \) là trung điểm của \( BC \), ta có:
- \( OA = OC \) (từ tam giác vuông tại \( A \), \( AB < AC \))
- Hơn nữa, \( AO \) và \( OC \) là hai đoạn thẳng từ một điểm tới hai điểm cố định sao cho \( AO = OC \).

3. **Chứng minh các góc:**
- Tương tự như trên, góc \( \angle AON = \angle AOD = 90^\circ \) (vì \( OM \perp AB \) và \( ON \perp AC \)).
- Điều này dẫn đến \( AO \) và \( OC \) tạo thành hai góc bằng nhau.

Kết luận, \( AOCD \) có các cạnh đối diện bằng nhau và bằng, đồng thời các góc đối diện là bằng nhau, do đó, \( AOCD \) là hình thoi.