Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Qua A vẽ hai hai cát tuyến chung CAD và EAG, C và E thuộc (O), D và G thuộc (O'), A nằm giữa C và D, A nằm giữa E và G

Để chứng minh hai mệnh đề \( a \) và \( b \) trong bài toán này, ta sẽ sử dụng tính chất của các đường tròn và các góc liên quan đến các cát tuyến.

### Mệnh đề a: \( \triangle CBD \sim \triangle EBG \)

**Chứng minh:**
1. Gọi \( \angle CAB \) và \( \angle EAB \) là các góc tạo thành giữa các cát tuyến CAD và EAG.
2. Theo tính chất của cát tuyến cắt nhau tại một điểm ngoài hai đường tròn, có được:
\[
\angle CAB = \angle EAB \quad \text{(cùng phụ thuộc vào dây cung \( AB \))}
\]
3. Xem xét các góc ở các đỉnh:
- \( \angle CBD = \angle EBG \) (do \( CD \) và \( EG \) đều là cát tuyến tương ứng cắt nhau tại A).

Điều này cho thấy hai tam giác có góc tương ứng bằng nhau:
\[
\triangle CBD \sim \triangle EBG
\]

### Mệnh đề b: \( CD = EG \)

**Chứng minh:**
1. Ta biết rằng các cát tuyến \( CAD \) và \( EAG \) đều cắt nhau tại điểm A.
2. Do \( \triangle CBD \sim \triangle EBG \), theo định lý tỉ lệ cạnh trong tam giác đồng dạng, ta có:
\[
\frac{CB}{EB} = \frac{BD}{BG}
\]
3. Cả \( CD \) và \( EG \) đều là những đoạn thẳng nằm trên hai cát tuyến từ điểm A.

Vì \( AB \) là đường nối chung từ A đi qua hai đường tròn, và các đoạn \( CD \) và \( EG \) đều thuộc hai cát tuyến tương ứng, ta có \( CD = EG \).

### Kết luận:
- Ta đã chứng minh được rằng \( \angle CAB = \angle EAB \) và \( CD = EG \) theo các tính chất được nêu.

Vì vậy,
\[
\triangle CBD \sim \triangle EBG \quad \text{và} \quad CD = EG.
\]