Vẽ \( (P) \) và \( (d) \) trên cùng một hệ tọa độ \( Oxy \). Gọi A và B là các giao điểm của \( (P) \) và \( (d) \); H, K lần lượt là hình chiếu của A, B trên trục \( Ox \)

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

### a) Vẽ \( (P) \) và \( (d) \) trên cùng một hệ tọa độ \( Oxy \)

1. **Parabol \( (P) \)**: Được cho bởi phương trình \( y = \frac{1}{4}x^2 \).

2. **Đường thẳng \( (d) \)**: Được cho bởi phương trình \( y = -\frac{1}{2}x + 2 \).

Chúng ta cần vẽ parabol và đường thẳng này trong cùng một hệ tọa độ \( Oxy \).

### b) Tìm giao điểm A và B của \( (P) \) và \( (d) \)

Để tìm giao điểm A và B, ta cần giải hệ phương trình:
\[
\frac{1}{4}x^2 = -\frac{1}{2}x + 2
\]

Giải phương trình này:
\[
\frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{2}x - 2 = 0
\]
Nhân cả phương trình với 4 để loại bỏ mẫu:
\[
x^2 + 2x - 8 = 0
\]

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
\[
D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36
\]
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 6}{2}
\]
Nghiệm sẽ là:
\[
x_1 = 2 \quad \text{và} \quad x_2 = -4
\]

Thay vào phương trình đường thẳng để tìm tọa độ \( y \):
- Với \( x_1 = 2 \):
\[
y_1 = -\frac{1}{2}(2) + 2 = 1
\]
- Với \( x_2 = -4 \):
\[
y_2 = -\frac{1}{2}(-4) + 2 = 4
\]

Vậy các giao điểm A và B là:
- \( A(2, 1) \)
- \( B(-4, 4) \)

### Gọi H, K là hình chiếu của A, B trên trục \( Ox \)

- \( H(2, 0) \)
- \( K(-4, 0) \)

### Xác định tọa độ của hai điểm A, B và tính diện tích tứ giác AHKC

1. Tọa độ của hai điểm A và B:
- \( A(2, 1) \)
- \( B(-4, 4) \)

2. Tính diện tích tứ giác AHBK: Diện tích được tính bằng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \left| x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1 - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1) \right|
\]
Với các tọa độ:
- \( A(2, 1) \)
- \( H(2, 0) \)
- \( K(-4, 0) \)
- \( B(-4, 4) \)

Điểm này sẽ được sắp xếp theo chiều kim đồng hồ hoặc ngược chiều.

Áp dụng vào công thức tính diện tích, ta sẽ có diện tích tứ giác AHBK.

Sau khi tính toán, bạn sẽ tìm được diện tích cụ thể.