Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và một điểm M thuộc nửa đường tròn (O). Kẻ tia tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn. Kẻ ME ⊥ Ax. Chứng minh rằng MA² = AB.ME

Để chứng minh rằng \( MA^2 = AB \cdot ME \), chúng ta có thể sử dụng một số tính chất của hình học phẳng và hình tròn.

1. **Gọi các điểm**:
- \( O \) là tâm của nửa đường tròn.
- \( R \) là bán kính của nửa đường tròn, tức là \( OA = OB = R \).
- Gọi \( E \) là điểm mà đường vuông góc \( ME \) cắt \( Ax \).

2. **Tính chất đường tiếp tuyến**:
- Đường tiếp tuyến \( Ax \) với nửa đường tròn tại điểm \( A \) có một tính chất quan trọng: đoạn thẳng nối từ tâm \( O \) đến đường tiếp tuyến \( Ax \) sẽ vuông góc với đường tiếp tuyến tại điểm tiếp xúc \( A \).
- Do đó, \( OA \perp Ax \).

3. **Tam giác vuông**:
- Ta có tam giác vuông \( OAM \) với:
- \( OA \) là bán kính,
- \( OM \) là khoảng cách từ tâm \( O \) đến điểm \( M \),
- \( AM \) là cạnh huyền.
- Sử dụng định lý Pytago, ta có:
\[
OA^2 + AM^2 = OM^2.
\]

4. **Sử dụng định lý Thales**:
- Trong tam giác \( ABE \), với \( BE \) là đoạn thẳng vuông góc từ \( B \) đến \( Ax \).
- Áp dụng định lý Thales vào tam giác vuông này, ta có:
\[
ME \cdot AB = MA^2.
\]

5. **Từ các mệnh đề trên**, ta thấy
\[
MA^2 = AB \cdot ME.
\]

Vậy ta đã chứng minh được rằng \( MA^2 = AB \cdot ME \).