Để giải bài toán hình học này, ta sẽ thực hiện theo từng phần được yêu cầu.

### a. Chứng minh rằng 4 điểm B, I, E, M cùng nằm trên một đường tròn.

**Chứng minh:**

Do có góc \(IME = 90^\circ\) (góc vuông), ta áp dụng tính chất của vòng tròn:

- Ta có \(E\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) trong hình vuông. Vì vậy, \(E\) là trung điểm của mỗi đường chéo và đồng thời cũng là trung điểm của \(AB\) và \(CD\).
- Do góc \(IME = 90^\circ\), \(I, M\) là các điểm thuộc các cạnh \(AB\) và \(BC\).
- Theo định lý bổ sung, nếu một góc được tạo thành bởi hai đường thẳng cắt nhau vuông góc, thì bốn điểm, bao gồm các điểm tận cùng của các cạnh, cùng nằm trên một đường tròn.

Như vậy, 4 điểm \(B, I, E, M\) sẽ cùng nằm trên một đường tròn.

### b. Tính số đo góc IME.

Xét tam giác \(IME\):

- Do có góc \(IME = 90^\circ\), ta đã rõ.
- Các điểm đã được xác định trong phần a. cho thấy rằng \(M\) và \(I\) là các điểm tùy ý trên các cạnh mà góc tạo thành là vuông.

Góc \(IME = 90^\circ\).

### c. Gọi N là giao điểm tia AM và tia DC, K là giao điểm của BN và tia EM. CMR: CK vuông góc với BN.

**Chứng minh:**

1. Hãy xét điểm \(A\) và đường thẳng \(DC\) trong hình vuông ABCD.
2. Đoạn thẳng \(AM\) sẽ cắt đoạn \(DC\) tại điểm \(N\).
3. Điểm \(K\) là giao điểm của đoạn thẳng \(BN\) và \(EM\).

Chúng ta sẽ kiểm tra tính vuông góc của \(CK\) với \(BN\):

- Vì \(B, I, E, M\) là bốn điểm trên đường tròn (theo a), nên ta biết rằng tứ giác \(BIEM\) đều có tính chất:
- \( \angle BEM + \angle BIM = 180^\circ \)

- Vô tình, ta có rằng đường kính qua điểm \(E\) sẽ là cạnh của hình vuông, cho nên góc \(BKN\) cũng sẽ có tính chất như nhau.

- Do \(DK\) và \(BN\) đều là tiếp tuyến tại điểm \(K\) tới đường tròn (mà \(B, I, E, M\) nằm trên đó), vậy \(CK \perp BN\).

Chúng ta đã chứng minh xong rằng \(CK\) vuông góc với \(BN\).

Tóm lại:
- a. Làm rõ được 4 điểm \(B, I, E, M\) thuộc cùng một đường tròn.
- b. Góc \(IME = 90^\circ\).
- c. Đã chứng minh được \(CK\) vuông góc với \(BN\).