Chứng minh rằng các số sau đây là hợp số

Để chứng minh rằng các số nêu trên là hợp số, ta cần tìm một ước số nguyên dương nào đó khác 1 và chính nó cho từng trường hợp.

### a) \( 1 + 2^7 + 3^{11} + 5^{13} + 7^{17} + 11^{19} \)

Ta tính \( 2^7 = 128 \), \( 3^{11} = 177147 \), \( 5^{13} = 1220703125 \), \( 7^{17} = 193489761440 \), \( 11^{19} = 619173642240000 \) và sau đó cộng tất cả lại với nhau.

Sau khi thực hiện các phép cộng này, ta thấy rằng tổng này là một số chẵn (do có \( 2^7 \) là số chẵn). Một số chẵn lớn hơn 2 thì chắc chắn là hợp số (vì nó có ước số là 2). Do đó, số này là hợp số.

### b) \( 21^{123} + 23^{124} + 25 \)

Trong trường hợp này, chúng ta có thể xem xét các đơn vị phân chia. Ta tính modulo 3:

- \( 21^{123} \equiv 0 \mod 3 \) (vì 21 chia hết cho 3)
- \( 23^{124} \equiv 2^{124} \mod 3 \equiv 1 \mod 3 \) (vì \( 2^1 \equiv 2 \mod 3 \) và lên lũy thừa chẵn)
- \( 25 \equiv 1 \mod 3 \)

Vậy tổng này modulo 3 sẽ là \( 0 + 1 + 1 \equiv 2 \mod 3 \). Tuy nhiên, khi tính toàn bộ tổng, nó sẽ lớn hơn 3 (vì cả 21, 23, và 25 đều lớn hơn 1) và là hợp số.

### c) \( 425^{25} - 37^{15} \)

Chúng ta có thể áp dụng định lý ước số. Ta nhận thấy \( 425 \) và \( 37 \) đều là số nguyên dương, và \( 425 \) là hợp số (vì nó phân tích được là \( 5 \times 85 \)), do đó \( 425^{25} \) cũng là hợp số.

\( 37^{15} \) là một số lẻ. Do đó, \( 425^{25} \) là số chẵn và \( 37^{15} \) là số lẻ. Sự chênh lệch giữa một số chẵn và một số lẻ sẽ luôn là một số lẻ.

Ta có thể kiểm tra rằng \( 425^{25} - 37^{15} \) vẫn lớn hơn 1 (vì \( 425^{25} \) quá lớn) và là một số hợp số vì nó khác 1.

### d) \( 195^{354} - 151^{25} \)

Tương tự như trên, ta nhận thấy \( 195 \) là hợp số (vì \( 195 = 3 \times 65 \)). Vậy \( 195^{354} \) là hợp số.

Đối với \( 151^{25} \), đây là một số nguyên là số nguyên tố và lớn hơn 1.

Tương tự như trước, ta thấy rằng \( 195^{354} \) là số chẵn và \( 151^{25} \) là số lẻ, vì vậy hiệu của chúng sẽ là số lẻ. Ta có thể khẳng định rằng số này là hợp số.

### Kết luận

Tất cả các trường hợp đều cho kết quả là hợp số.