Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt thực hiện các bước như sau:

### a) Tính số đo của \( x\overline{Oz} \)

Biết rằng tổng số đo của ba góc \( x\overline{Oz} \), \( y\overline{Oz} \) và \( z\overline{Oy} \) là \( 180^\circ \) (do O nằm trên đường thẳng xy).

Gọi \( x\overline{Oz} \) là \( x \). Theo đề bài, ta có:
\[
y\overline{Oz} = 140^\circ
\]

Suy ra:
\[
x + 140^\circ + z = 180^\circ
\]
Trong đó, \( z \) là số đo góc \( z\overline{Oy} \).

Ta có:
\[
x + 140^\circ + z = 180^\circ \Rightarrow z = 180^\circ - 140^\circ - x \Rightarrow z = 40^\circ - x
\]

Do đó, có thể tìm được \( x \) như sau:
\[
x + 140^\circ + (40^\circ - x) = 180^\circ
\]
Điều này dẫn đến:
\[
x + 140^\circ + 40^\circ - x = 180^\circ \Rightarrow 180^\circ = 180^\circ
\]

Vậy ta không cần riêng biệt tìm \( z \). Chúng ta chỉ biết rằng:
\[
y\overline{Oz} = 140^\circ, z\overline{Oy} = 40^\circ, x\overline{Oz} = 40^\circ - z
\]

### b) Chứng tỏ \( OM \perp ON \)

Gọi:
- \( OM \) là tia phân giác của góc \( x\overline{Oz} \).
- \( ON \) là tia phân giác của góc \( z\overline{Oy} \).

Theo tính chất của tia phân giác, ta có:
- Số đo của tia phân giác \( OM \) là:
\[
\frac{1}{2} x \quad (\text{với } x = 40^\circ)
\]
Nên số đo của tia phân giác \( OM \) là:
\[
\frac{1}{2} \cdot 40^\circ = 20^\circ
\]

- Số đo của tia phân giác \( ON \) là:
\[
\frac{1}{2} z \quad (\text{với } z = 20^\circ)
\]
Nên số đo của tia phân giác \( ON \) là:
\[
\frac{1}{2} \cdot 40^\circ = 20^\circ
\]

Từ đó, ta có:
\[
x\overline{Oz} + ON = 20^\circ + 20^\circ = 180^\circ
\]

Vì thế, \( OM \perp ON \).

Kết luận: Ta đã chứng minh để có \( OM \perp ON \) trong tam giác được hình thành.