Sử dụng định nghĩa các tỉ số lượng giác của một góc nhọn để chứng minh rằng

Để chứng minh các tỉ số lượng giác đã cho, chúng ta sẽ sử dụng định nghĩa các tỉ số lượng giác cho một góc nhọn \(\alpha\) trong tam giác vuông.

1. **Chứng minh a) \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \)**:

Dựa vào định nghĩa:
- \(\sin \alpha\) là tỉ số giữa chiều dài cạnh đối và chiều dài cạnh huyền.
- \(\cos \alpha\) là tỉ số giữa chiều dài cạnh kề và chiều dài cạnh huyền.

Theo định lý Pythagore, trong một tam giác vuông, ta có:
\[
(\sin \alpha)^2 + (\cos \alpha)^2 = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}}^2 + \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}}^2 = \frac{\text{cạnh đối}^2 + \text{cạnh kề}^2}{\text{cạnh huyền}^2} = \frac{\text{cạnh huyền}^2}{\text{cạnh huyền}^2} = 1
\]

2. **Chứng minh b) \( 1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \)**:

Theo định nghĩa:
- \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\).

Ta có:
\[
\tan^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}
\]
Khi đó,
\[
1 + \tan^2 \alpha = 1 + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{1}{\cos^2 \alpha}
\]

3. **Chứng minh c) \( \tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1 \)**:

Theo định nghĩa:
- \(\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\).

Vậy:
\[
\tan \alpha \cdot \cot \alpha = \left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\right) \cdot \left(\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\right) = \frac{\sin \alpha \cdot \cos \alpha}{\cos \alpha \cdot \sin \alpha} = 1
\]

4. **Chứng minh d) \( 1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} \)**:

Tương tự như trước:
\[
\cot^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}
\]

Vậy:
\[
1 + \cot^2 \alpha = 1 + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{1}{\sin^2 \alpha}
\]

Từ đó, tất cả các đẳng thức đã được chứng minh hoàn chỉnh.