Cho hình thang vuông ABCD ( góc A = góc D = 90 độ, AB < CD). Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD, BC. Chứng minh rằng: a) Tứ giác ABFE là hình thang vuông. b) Góc BAF = góc CDF

Để chứng minh hai phần a) và b) của bài toán, ta sẽ sử dụng tính chất của hình thang vuông và các trung điểm.

### Phần a: Chứng minh tứ giác ABFE là hình thang vuông

1. **Thiết lập tọa độ**:
- Giả sử A(0, 0), B(a, 0) (với \(AB = a\)), D(0, b), C(c, b) (với \(CD = c\) với \(b > 0\)).
- Như vậy, tứ giác ABCD là hình thang vuông với AB // CD.

2. **Tìm tọa độ của các điểm E và F**:
- E là trung điểm của AD nên tọa độ E là:
\[
E \left( \frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + b}{2} \right) = (0, \frac{b}{2}).
\]
- F là trung điểm của BC nên tọa độ F là:
\[
F \left( \frac{a + c}{2}, \frac{0 + b}{2} \right) = \left(\frac{a + c}{2}, \frac{b}{2}\right).
\]

3. **Chứng minh ABFE là hình thang vuông**:
- Xét hai đoạn thẳng AB và EF.
- Đoạn thẳng AB nằm trên trục hoành, vì vậy độ cao của đoạn thẳng này là 0.
- Đoạn thẳng EF song song với trục hoành vì cả hai điểm E và F có cùng tọa độ y là \(\frac{b}{2}\).

Ta có vận tốc của đoạn thẳng AB là 0, trong khi EF có cùng vận tốc nên chúng song song và đồng thời. Do đó, tứ giác ABFE là hình thang.

**Kết luận**: Tứ giác ABFE là hình thang vuông.

### Phần b: Chứng minh góc BAF = góc CDF

1. **Xét các tam giác BAF và CDF**:
- Trong tam giác BAF:
- AB ⊥ AF (vì A là đỉnh vuông).
- BA = a là cạnh đối diện với góc BAF.

- Trong tam giác CDF:
- CD ⊥ DF (vì D là đỉnh vuông).
- DC = c là cạnh đối diện với góc CDF.

2. **So sánh góc**:
- Xét hai tam giác BAF và CDF:
- Vì AB // CD và đều vuông góc với AF và DF, nên hai góc BAF và CDF sẽ tạo ra các góc giống nhau.
- Do đó, góc BAF = góc CDF.

**Kết luận**: Góc BAF = góc CDF.

### Tổng hợp

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng:
a) Tứ giác ABFE là hình thang vuông.
b) Góc BAF = góc CDF.