Cho đường tròn (O) có dây BC cố định, A là một điểm thay đổi trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn. Vẽ đường kính AD của đường tròn (O), đường thẳng BD cắt đường thẳng AC tại E, đường thẳng CD cắt đường thẳng AB tại F. Gọi P, Q thứ tự là các điểm đối xứng với D qua các đường thẳng AB và AC

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước như sau:

### Bước 1: Thiết lập các điểm và hình vẽ
1. **Cho đường tròn (O)** có dây BC cố định.
2. **Điểm A** nằm trên cung lớn của đường tròn, với tính chất tam giác ABC nhọn.
3. **Vẽ đường kính AD** của đường tròn, với D là điểm đối diện B và C trên đường tròn.
4. **Đường thẳng BD** cắt AC tại E, và **đường thẳng CD** cắt AB tại F.

### Bước 2: Tìm các điểm đối xứng
- Gọi **P** là điểm đối xứng của **D** qua đường thẳng **AB**.
- Gọi **Q** là điểm đối xứng của **D** qua đường thẳng **AC**.

### Bước 3: Tính toán và chứng minh
1. **Chứng minh điểm A, P, E, F, Q cùng nằm trên một đường tròn**:
- Xét tứ giác APQF. Chứng minh rằng góc APF + góc AEF = 180 độ sẽ chứng tỏ APQF là tứ giác nội tiếp.

2. **Gọi M là trung điểm của EF**, đường thẳng MD cắt đường tròn (S) tại N:
- Chứng minh rằng M thuộc đoạn IN và I là hình chiếu của E lên AN, tức là đường thẳng MD cắt đường tròn tại N.

3. **Chứng minh rằng đường thẳng IM đi qua điểm B**:
- Sử dụng tính chất bất đẳng thức tam giác hoặc kiến thức về đường trung bình và xây dựng các mối quan hệ hình học để chứng minh.

4. **Tiếp theo, cần chứng minh rằng E và F của đường tròn (S) cắt nhau tại K**:
- Áp dụng định lý về giao điểm của các đường tròn và các hình đồng thời hoặc áp dụng đồng dạng để chứng minh.

### Bước 4: Kết luận
Kết quả chứng minh sẽ phụ thuộc vào việc thể hiện các phép tính và việc chứng minh các tính chất hình học của các tam giác, tứ giác đã đề cập. Hãy cẩn thận trong việc sử dụng các tính chất của đường tròn, các đường vuông góc, và các điểm đối xứng.