Cho tam giác ABC cân ở A (góc A nhọn), đường trung tuyến AD, đường cao BE (E thuộc cạnh AC). Gọi M là hình chiếu của điểm D trên cạnh AC, K là trung điểm của DM

Để giải bài 4, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một như sau:

### a) Tính độ dài đường trung tuyến AD, biết AC = 10, BC = 12:

Trong tam giác cân ABC, với AC là cạnh đáy, và AB = AC = 10.

Theo định lý chiều dài đường trung tuyến trong tam giác, ta có công thức:

\[
AD = \frac{1}{2} \sqrt{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}
\]

Thay số vào:

- AB = AC = 10
- BC = 12

\[
AD = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10^2 - 12^2}
\]
\[
= \frac{1}{2} \sqrt{200 + 200 - 144}
\]
\[
= \frac{1}{2} \sqrt{256}
\]
\[
= \frac{16}{2} = 8
\]

Vậy độ dài đường trung tuyến AD là 8.

### b) Chứng minh ∆BEM ∼ ∆AMK:

Ta có D là trung điểm của AC nên:

\[
AD = DM
\]
và

\[
Be = BE \text{ (do BE là đường cao)}
\]

Theo tính chất của hình chiếu, ta có:

- EM // AK (vì BE vuông góc với AC).
- BEM và AMK đều có góc B và góc A lần lượt.

Suy ra:

\[
\Delta BEM \sim \Delta AMK
\]

### c) Chứng minh AK vuông góc với BM:

Từ phần chứng minh ở b), ta có:

- ∆BEM ~ ∆AMK kéo theo AK // BE.
- M là hình chiếu của D trên AC, tức là DM vuông góc với AC.

Khi đó, từ việc AK // BE, suy ra:

\[
AK \text{ vuông góc với } BM
\]

Vậy chúng ta đã hoàn thành cả ba phần của bài toán.