Để tìm \( F(2) \), trước tiên ta cần tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = e^x + 2x \).

**Bước 1: Tính nguyên hàm \( F(x) \)**

Nguyên hàm của \( f(x) \) là:
\[
F(x) = \int (e^x + 2x) \, dx = \int e^x \, dx + \int 2x \, dx
\]
\[
= e^x + x^2 + C
\]
Trong đó \( C \) là một hằng số.

**Bước 2: Xác định hằng số \( C \) bằng điều kiện \( F(0) = \frac{3}{2} \)**

Thay \( x = 0 \) vào công thức \( F(x) \):
\[
F(0) = e^0 + 0^2 + C = 1 + C
\]
Theo đề bài, ta có:
\[
1 + C = \frac{3}{2}
\]
Giải phương trình này để tìm \( C \):
\[
C = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}
\]

**Bước 3: Viết lại nguyên hàm \( F(x) \)**

Vậy nguyên hàm \( F(x) \) là:
\[
F(x) = e^x + x^2 + \frac{1}{2}
\]

**Bước 4: Tính \( F(2) \)**

Thay \( x = 2 \) vào công thức \( F(x) \):
\[
F(2) = e^2 + 2^2 + \frac{1}{2} = e^2 + 4 + \frac{1}{2}
\]
\[
= e^2 + 4.5
\]

**Bước 5: Tính giá trị \( e^2 \)**

Ta biết rằng \( e \approx 2.718 \), do đó:
\[
e^2 \approx (2.718)^2 \approx 7.389
\]
Bây giờ tính:
\[
F(2) \approx 7.389 + 4.5 = 11.889
\]

**Bước 6: Làm tròn đến hàng phần chục**

Làm tròn \( 11.889 \) đến hàng phần chục, ta có:
\[
F(2) \approx 11.9
\]

Vậy kết quả là:
\[
\boxed{11.9}
\]