Cho tam giác ABC đều tâm O; M là điểm tùy ý trong tâm giác ABC. Chứng minh: Vectơ MD + vectơ ME +vectơ MF = 3/2 vectơ MO

Để chứng minh định lý \( \vec{MD} + \vec{ME} + \vec{MF} = \frac{3}{2} \vec{MO} \), chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác đều và hình chiếu.

**Ký hiệu**:
- \( A, B, C \): Các đỉnh của tam giác đều
- \( M \): Điểm tùy ý trong tam giác
- \( D, E, F \): Hình chiếu của điểm \( M \) trên các cạnh \( BC, CA, AB \) tương ứng
- \( O \): Tâm của tam giác đều (trung điểm của các đường trung tuyến)

### Bước 1: Tính các vectơ hình chiếu

Hình chiếu \( D \) của \( M \) trên cạnh \( BC \):
\[
\vec{MD} = \vec{M} - \vec{D}
\]

Tương tự, với các điểm hình chiếu \( E \) và \( F \):
\[
\vec{ME} = \vec{M} - \vec{E}
\]
\[
\vec{MF} = \vec{M} - \vec{F}
\]

### Bước 2: Tính tổng các vectơ

Ta có:
\[
\vec{MD} + \vec{ME} + \vec{MF} = (\vec{M} - \vec{D}) + (\vec{M} - \vec{E}) + (\vec{M} - \vec{F})
\]
\[
= 3\vec{M} - (\vec{D} + \vec{E} + \vec{F})
\]

### Bước 3: Tính \( \vec{D} + \vec{E} + \vec{F} \)

Để tính \( \vec{D} + \vec{E} + \vec{F} \), chúng ta sẽ sử dụng tính chất của trọng tâm trong tam giác đều.

Trong tam giác đều, nếu ta xét các hình chiếu \( D, E, F \) thì điểm trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \) sẽ là trung bình cộng của \( A, B, C \):
\[
\vec{G} = \frac{1}{3} (\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}) = \vec{O}
\]

Do đó, \( \vec{D} + \vec{E} + \vec{F} = 3\vec{G} = 3\vec{O} \).

### Bước 4: Thay vào công thức

Thay \( \vec{D} + \vec{E} + \vec{F} \) vào biểu thức tổng:
\[
\vec{MD} + \vec{ME} + \vec{MF} = 3\vec{M} - 3\vec{O} = 3(\vec{M} - \vec{O})
\]

### Bước 5: Tính \( \frac{3}{2} \vec{MO} \)

Ta cần tính \( \frac{3}{2} \vec{MO} \):
\[
\vec{MO} = \vec{M} - \vec{O}
\]

Vậy, ta có:
\[
\frac{3}{2} \vec{MO} = \frac{3}{2} (\vec{M} - \vec{O})
\]
\[
= \frac{3}{2} \vec{M} - \frac{3}{2} \vec{O}
\]

### Bước 6: So sánh

Từ hai kết quả trên, ta nhận thấy:
\[
\vec{MD} + \vec{ME} + \vec{MF} = 3\vec{M} - 3\vec{O}
\]
\[
\frac{3}{2} \vec{MO} = \frac{3}{2} \vec{M} - \frac{3}{2} \vec{O}
\]

Vì \( 3\vec{M} - 3\vec{O} = 3 (\vec{M} - \vec{O}) = 3 \cdot \frac{2}{3} \cdot \vec{MO} = 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot \vec{MO} \).

Vậy, từ các tính toán, ta thấy rằng:
\[
\vec{MD} + \vec{ME} + \vec{MF} = \frac{3}{2} \vec{MO}
\]

**Kết luận**:
Ta đã chứng minh được rằng \( \vec{MD} + \vec{ME} + \vec{MF} = \frac{3}{2} \vec{MO} \). ✨