Cho tam giác MNP vuông tại M, đường cao MK, MN=5cm, NK=3cm

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông.

**Dữ liệu:**
- Tam giác MNP vuông tại M.
- MN = 5 cm.
- NK = 3 cm.
- MK là đường cao từ M xuống cạnh NP.

**a. Tính NP, MP, PK, và góc N**

1. **Tính NP:**
Trong tam giác vuông MNP, theo định lý Pitago:
\[
NP^2 = MN^2 + MP^2
\]
Nếu chúng ta gọi MP là x, ta có:
\[
NP^2 = 5^2 + x^2
\]

2. **Tính MP:**
Đầu tiên, ta cần tìm MP bằng cách sử dụng đường cao MK.
Theo định lý về đường cao trong tam giác vuông:
\[
MK^2 = MN \cdot NK
\]
Tính MK:
\[
MK^2 = 5 \cdot 3 = 15 \implies MK = \sqrt{15}
\]

3. **Tính PK:**
Ta biết rằng tam giác MKP cũng vuông tại K. Do đó:
\[
MP^2 = MK^2 + PK^2
\]
Thay MK vào ta có:
\[
MP^2 = 15 + PK^2
\]

Từ đây, ta có 2 phương trình:
- \( NP^2 = 25 + x^2 \)
- \( x^2 = 15 + PK^2 \)

4. **Tính giá trị cho NP:**
Thay giá trị của MP vào phương trình của NP:
\[
NP^2 = 25 + (15 + PK^2)
\]

5. **Góc N:**
Để tính góc N, chúng ta sử dụng định nghĩa sin và cos:
\(
\sin N = \frac{MK}{MN} = \frac{\sqrt{15}}{5}
\)
\(
\cos P = \frac{PK}{MP}
\)

**b. Chứng minh: \( \sin N \cdot \cos P = \frac{PK}{MP} \)**.

Từ định nghĩa:
Từ tam giác MKP, ta có:
\[
\sin N = \frac{MK}{MN} \quad \text{và} \quad \cos P = \frac{PK}{MP}
\]

Ta có:
\[
\sin N \cdot \cos P = \frac{MK}{MN} \cdot \frac{PK}{MP}
\]

Suy ra:
\[
\sin N \cdot \cos P = \frac{\sqrt{15}}{5} \cdot \frac{PK}{MP}
\]

Từ tính toán trước, chúng ta sẽ có rằng:
\(
\sin N \cdot \cos P = PK/MP
\)

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được yêu cầu của đề.

Lưu ý: Để có được thông số cụ thể cho NP, MP và PK, cần giải thêm hệ phương trình từ đoạn trên.