Để rút gọn biểu thức \( Y = \frac{x^2 + \sqrt{x}}{x - \sqrt{x} + 1} - \frac{2x + \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \), ta sẽ thao tác từng phần một.

### Bước 1: Rút gọn phần thứ nhất

Xét phần đầu tiên:

\[
\frac{x^2 + \sqrt{x}}{x - \sqrt{x} + 1}
\]

Ta cần viết lại mẫu số \( x - \sqrt{x} + 1 \). Gọi \( \sqrt{x} = t \) thì \( x = t^2 \) và \( Y \) trở thành:

\[
\frac{t^4 + t}{t^2 - t + 1}
\]

### Bước 2: Rút gọn phần thứ hai

Giải quyết phần thứ hai của biểu thức:

\[
\frac{2x + \sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \frac{2t^2 + t}{t} = 2t + 1
\]

### Bước 3: Kết hợp lại biểu thức Y

Giờ chúng ta thay phần thứ nhất và thứ hai vào Y:

\[
Y = \frac{t^4 + t}{t^2 - t + 1} - (2t + 1)
\]

Để rút gọn biểu thức này, ta cần có mẫu số chung. Mẫu số sẽ là \( t^2 - t + 1 \):

### Bước 4: Tính toán phần trừ

Ta chuyển \( 2t + 1 \) thành dạng có cùng mẫu:

\[
Y = \frac{t^4 + t - (2t + 1)(t^2 - t + 1)}{t^2 - t + 1}
\]

### Bước 5: Mở dấu ngoặc và rút gọn

Khai triển \( (2t + 1)(t^2 - t + 1) \):

\[
(2t + 1)(t^2 - t + 1) = 2t^3 - 2t^2 + 2t + t^2 - t + 1 = 2t^3 - t^2 + t + 1
\]

Giờ ta thay vào biểu thức Y:

\[
Y = \frac{t^4 + t - (2t^3 - t^2 + t + 1)}{t^2 - t + 1}
\]

### Bước 6: Tiến hành rút gọn

\[
Y = \frac{t^4 + t - 2t^3 + t^2 - t - 1}{t^2 - t + 1}
\]
\[
Y = \frac{t^4 - 2t^3 + t^2 - 1}{t^2 - t + 1}
\]

### Bước 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của Y

Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( Y \), ta sẽ tính đạo hàm hoặc giải phương trình \( Y \) từ \( t \), nhưng Phương pháp này có thể phức tạp. Thay vào các giá trị thực tế có thể sẽ giúp tìm được điểm nhỏ nhất.

Tóm lại, \( Y \) đã được rút gọn xuống dạng đơn giản hơn. Để tiếp tục xác định giá trị nhỏ nhất, chúng ta có thể sử dụng phép khảo sát đạo hàm hay phân tích đồ thị.