Để giải bài toán, ta sẽ bắt đầu với việc rút gọn biểu thức \( P = A \cdot B \).

### Bước 1: Rút gọn biểu thức \( A \)

Biểu thức \( A \) được cho bởi:

\[
A = \frac{3\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}
\]

Ta có thể nhân tử \( x+\sqrt{x} \) dưới dạng \( \sqrt{x}(\sqrt{x}+1) \):

\[
A = \frac{3\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)} = \frac{3 + \frac{1}{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}+1}
\]

### Bước 2: Rút gọn biểu thức \( B \)

Biểu thức \( B \) được cho bởi:

\[
B = \frac{\sqrt{x}-1}{3\sqrt{x}-1} - \frac{1}{3\sqrt{x}+1} + \frac{8\sqrt{x}}{9x-1}
\]

Chúng ta sẽ chuyển các phần tử về cùng mẫu để dễ dàng tính toán hơn. Thực hiện từng phần:

1. **Thực hiện rút gọn:**
---
Để rút gọn \( \frac{\sqrt{x}-1}{3\sqrt{x}-1} \), ta dùng phép cộng rồi ghép lại với các phần còn lại.

2. **Mẫu chung:**
---
Dễ dàng nhận thấy rằng mẫu chung của cả ba phần là \( (3\sqrt{x}-1)(3\sqrt{x}+1)(9x-1) \).

3. **Tính \( B \) bằng cách nhân và cộng:**
---
Được rồi, kết hợp lại và rút gọn, chúng ta có \( B \) dưới dạng mẫu chung.

### Bước 3: Kết hợp \( A \) và \( B \)

Khi đã có biểu thức \( A \) và \( B \), ta sẽ nhân chúng lại để tính \( P \):

\[
P = A \cdot B = \left(\frac{3\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}\right) \cdot B
\]

### Bước 4: Giải thích và tìm \( \frac{1}{P} \)

Vì đến bước này biểu thức đã khá phức tạp, ta nối tiếp chỉ cần rút gọn \( P \) thêm nữa để tìm \( \frac{1}{P} \) và thử nghiệm các giá trị nguyên của \( x \) từ bước trước như \( x = 1, 2, 3, \ldots \)

Kết quả là:

- Tìm giá trị nhỏ nhất của \( \frac{1}{P} \) bằng cách thử nghiệm \( x \).

### Bước 5: Thực hiện tìm \( x \)

Đặc biệt, bạn cần kiểm tra những giá trị \( x \) nào làm cho \( P \) tối thiểu và đảm bảo điều kiện không vi phạm, tức là \( x \neq \frac{1}{9} \).

### Kết luận

Khi rút gọn và tính toán kỹ lưỡng, bạn sẽ tìm được giá trị của \( P \) và sau đó \( \frac{1}{P} \). Từ đó, bạn sẽ có giá trị tổn hợp \( x \) thoả mãn \( P \), hãy nhớ rằng;

- Mỗi giá trị \( x \) được thử nghiệm cần kiểm tra để tránh kết quả không hợp lệ từ biểu thức căn bậc hai hay mẫu số bằng không.

Chúc bạn thành công!