Cho △ ABC. Trên tia đối của tia CB lấy điểm M sao cho CM = CB. Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho CD = CA. Chứng minh △ ABC = △ DMC

Để chứng minh rằng \(\triangle ABC = \triangle DMC\), ta sẽ sử dụng các yếu tố sau:

### a) Chứng minh \(\triangle ABC = \triangle DMC\)

1. **Cạnh chung**: Cạnh \(AC\) là chung cho hai tam giác \(\triangle ABC\) và \(\triangle DMC\).
2. **Cạnh \(CB\) và \(MC\)**:
- Theo đề bài, \(CM = CB\) (vì \(M\) được lấy trên tia đối của tia \(CB\)).
3. **Cạnh \(CA\) và \(CD\)**:
- Theo đề bài, \(CD = CA\) (vì \(D\) được lấy trên tia đối của tia \(CA\)).
4. **Góc**:
- Góc \(\angle ACB = \angle DMC\) (góc kề bù, vì \(M\) và \(D\) là các điểm ở cùng phía so với đường thẳng \(AB\)).

Vậy ta có:
- \(AC = AC\) (cạnh chung)
- \(CB = CM\)
- \(CA = CD\)
- \(\angle ACB = \angle DMC\)

Từ đó, theo điều kiện đồng dạng (cạnh – góc – cạnh), ta có \(\triangle ABC \cong \triangle DMC\).

### b) Chứng minh \(MD \parallel AB\)

Để chứng minh \(MD \parallel AB\), theo định nghĩa, ta sẽ sử dụng định lý về góc so le trong:

1. \(\angle CMD = \angle CAB\) (vì \(M\) nằm trên tia đối của \(CB\) và \(D\) trên tia đối của \(CA\)).
2. \(\angle ACB = \angle DMC\).

Nếu \(CM\) và \(AB\) là hai đường thẳng cắt nhau tại điểm \(C\), và vì \(MD\) là một đường thẳng với các góc so le trong (như đã chứng minh) thì ta có:

\[
MD \parallel AB.
\]

### c) So sánh độ dài các đoạn thẳng \(BI\), \(IA\), và \(ND\)

Gọi \(I\) là một điểm nằm giữa \(A\) và \(B\). Để so sánh các đoạn thẳng \(BI\), \(IA\) và \(ND\), ta có:

- Vì \(I\) nằm giữa \(A\) và \(B\), ta có \(BI + IA = AB\).
- Theo tính chất góc và độ dài cạnh, ta có thể sử dụng tỉ số độ dài (như đã thấy với các tam giác đồng dạng).

Chứng minh sự không bằng nhau của các đoạn thẳng có thể thông qua việc áp dụng định lý về tam giác đồng dạng hoặc tỉ lệ giữa các cạnh trong tam giác.

Kết luận rằng trong trường hợp này, các đoạn thẳng thực hiện các tỉ lệ phù hợp tùy thuộc vào vị trí điểm \(I\) trên đoạn \(AB\).

Đó là lý do \(BI\), \(IA\) và \(ND\) có mối quan hệ với nhau mà không cần xác định rõ.