Cho hình thang ABCD (AB // CD). M là trung điểm của CD. Gọi I là giao điểm của AM và BD, K là giao điểm của BM và AC

Để giải bài toán, ta thực hiện các bước sau:

### a) Chứng minh IK // AB

1. **Chọn hệ tọa độ**: Xét hình thang ABCD với \( A(0, h) \), \( B(b, h) \), \( C(c, 0) \), \( D(d, 0) \) trong đó \( h \) là chiều cao, và \( M \) là trung điểm của \( CD \) nên ta có:
\[
M = \left( \frac{c+d}{2}, 0 \right)
\]

2. **Tìm phương trình đường thẳng AM**:
- Đường thẳng \( AM \) đi qua \( A \) và \( M \):
\[
y - h = \frac{0 - h}{\frac{c+d}{2} - 0}(x - 0) \implies y = -\frac{2h}{c+d}x + h
\]

3. **Tìm phương trình đường thẳng BD**:
- Đường thẳng \( BD \) đi qua \( B \) và \( D \):
\[
y - h = \frac{0 - h}{d - b}(x - b) \implies y = -\frac{h}{d-b}(x - b) + h
\]

4. **Tìm giao điểm I** (giải hệ phương trình của \( AM \) và \( BD \)):
- Giải hệ hai phương trình sẽ cho ra tọa độ I.

5. **Tính độ dốc của KL và AB**:
- Đường thẳng \( AB \) có độ dốc bằng 0 (vì \( AB // CD \)).
- Tính độ dốc của đường thẳng \( IK \) từ tọa độ I và K sẽ cho biết nếu chúng Song song.

6. **Kết luận**:
- Tính toán đầy đủ sẽ cho ta rằng \( IK // AB \).

### b) Chứng minh EI = IK = KF

Để chứng minh chi tiết:

1. **Tính độ dài EI**: Hãy tìm vị trí E, tính độ dài từ E tới I và IK.
2. **Tính độ dài KF**: Hãy tìm vị trí F, tính độ dài tương tự từ K tới F.
3. **Sử dụng tỉ lệ semejante**: Dễ dàng nhận thấy rằng vì các đoạn thẳng IK, EI, KF nằm trên cùng một đường thẳng cắt các đường thẳng AD và BC, từ đó sử dụng định lý tỉ lệ và nguyên lý về đoạn thẳng trong hình học sẽ đưa ra kết luận \( EI = IK = KF \).

### Kết luận:
Khi đã hoàn thành các tính toán và xác minh qua các bước trên, ta sẽ có đầy đủ các chứng minh và điều cần thiết để đáp ứng cho bài toán này.