Để chứng minh các biểu thức nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến, ta sẽ phân tích từng trường hợp cụ thể.

### a) \( A = x^2 - x + 1 \)

Xét biểu thức:
\[
A = x^2 - x + 1
\]

Ta sử dụng phương pháp kiểm tra định thức của hàm bậc 2:
- Định thức \( \Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \times 1 \times 1 = 1 - 4 = -3 \)

Vì \( \Delta < 0 \), hàm số này có 1 giá trị cực tiểu. Tính toán tại:
\[
x = -\frac{b}{2a} = \frac{1}{2}
\]
Thay vào biểu thức:
\[
A\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} + \frac{4}{4} = \frac{3}{4} > 0
\]
Vậy \( A > 0 \) với mọi giá trị của \( x \).

### b) \( B = (x - 2)(x - 4) + 3 \)

Ta có:
\[
B = (x - 2)(x - 4) + 3 = x^2 - 6x + 8 + 3 = x^2 - 6x + 11
\]

Tính định thức:
\[
\Delta = (-6)^2 - 4 \times 1 \times 11 = 36 - 44 = -8
\]

Vì \( \Delta < 0 \), hàm số này có 1 giá trị cực tiểu. Tính toán tại:
\[
x = \frac{6}{2} = 3
\]
Thay vào biểu thức:
\[
B(3) = 3^2 - 6 \times 3 + 11 = 9 - 18 + 11 = 2 > 0
\]
Vậy \( B > 0 \) với mọi giá trị của \( x \).

### c) \( C = 2x^2 - 4xy + 4y^2 + 2x + 5 \)

Ta có thể viết lại:
\[
C = 2(x^2 - 2xy + 2y^2) + 2x + 5
\]

Ta sẽ xem xét 2 phần:
1. \( 2(x^2 - 2xy + 2y^2) \) là một tam thức bậc 2 theo \( x \) với \( y \) là hằng số.
- Tính định thức:
\[
\Delta_x = (-2y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2y^2) = 4y^2 - 8y^2 = -4y^2
\]
Vì \( y^2 \geq 0 \), ta có \( \Delta_x \leq 0 \). Vậy hàm này có giá trị cực tiểu.

2. Tính giá trị cực tiểu tại \( x = \frac{2y}{2} = y \):
\[
C(y) = 2(y^2 - 2y^2 + 2y^2) + 2y + 5 = 2y^2 + 2y + 5
\]
Tính định thức:
\[
\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 4 - 40 = -36
\]

Vì \( \Delta < 0 \), giá trị cực tiểu của \( C(y) \) cũng dương. Thay vào:
\[
C(0) = 5 > 0
\]
Vậy \( C > 0 \) với mọi giá trị của \( x, y \).

### Kết luận
Tất cả các biểu thức \( A, B, C \) đều có giá trị dương với mọi giá trị của biến.