Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( M = 15 - 3x - 2x^2 \), chúng ta có thể thực hiện các bước sau:

1. Xác định dạng của biểu thức: Biểu thức này là một hàm bậc hai có dạng \( M = ax^2 + bx + c \) với \( a = -2 \), \( b = -3 \) và \( c = 15 \). Vì hệ số \( a < 0 \), hàm này có dạng concave (hàm lõm) và sẽ có giá trị lớn nhất tại đỉnh của parabol.

2. Tìm tọa độ đỉnh: Tọa độ \( x \) của đỉnh parabol được tính bằng công thức:
\[
x = -\frac{b}{2a}
\]
Áp dụng vào trường hợp của chúng ta:
\[
x = -\frac{-3}{2 \times -2} = \frac{3}{-4} = -\frac{3}{4}
\]

3. Tính giá trị của \( M \) tại \( x = -\frac{3}{4} \):
\[
M = 15 - 3\left(-\frac{3}{4}\right) - 2\left(-\frac{3}{4}\right)^2
\]
Tính từng phần:
\[
= 15 + \frac{9}{4} - 2 \times \frac{9}{16}
\]
\[
= 15 + \frac{9}{4} - \frac{18}{16}
\]
\[
= 15 + \frac{9}{4} - \frac{9}{8}
\]
Chuyển đổi \( 15 \) sang mẫu số 8:
\[
= \frac{120}{8} + \frac{18}{8} - \frac{9}{8} = \frac{120 + 18 - 9}{8} = \frac{129}{8}
\]

Vậy, giá trị lớn nhất của biểu thức \( M = 15 - 3x - 2x^2 \) là:
\[
\frac{129}{8} = 16.125
\]

Tóm lại, giá trị lớn nhất của \( M \) là \( 16.125 \).