Để chứng minh các biểu thức trên là dương hoặc âm với mọi giá trị của biến \( x \), chúng ta sẽ xem xét từng biểu thức một.

### Bài 1

a) Chứng minh rằng
\[
-x^2 + 4x - 5 < 0 \quad \text{với mọi giá trị của } x.
\]

Biểu thức này có thể viết lại dưới dạng:
\[
-x^2 + 4x - 5 = -(x^2 - 4x + 5).
\]
Xét định thức của đa thức bậc hai \( x^2 - 4x + 5 \):
\[
D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 < 0.
\]
Vì vậy, đa thức này không có nghiệm thực và luôn dương. Do đó, \( - (x^2 - 4x + 5) < 0 \), tức là
\[
-x^2 + 4x - 5 < 0 \quad \text{với mọi } x.
\]

b) Chứng minh rằng
\[
x^4 + 3x^2 + 3 > 0 \quad \text{với mọi giá trị của } x.
\]

Biểu thức là tổng của các số dương:
\[
x^4 \geq 0, \quad 3x^2 \geq 0, \quad 3 > 0.
\]
Do đó,
\[
x^4 + 3x^2 + 3 \geq 0 + 0 + 3 = 3 > 0 \quad \text{với mọi } x.
\]

c) Chứng minh rằng
\[
(x^2 + 2x + 3)(x^2 + 2x + 4) + 3 > 0 \quad \text{với mọi giá trị của } x.
\]

Xét từng yếu tố:
1. \( x^2 + 2x + 3 \): Định thức là \( D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 < 0 \), nghĩa là không có nghiệm thực, và luôn dương.
2. \( x^2 + 2x + 4 \): Định thức là \( D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12 < 0 \), nên cũng luôn dương.

Khi đó, tích của hai đa thức và 3 sẽ luôn dương:
\[
(x^2 + 2x + 3)(x^2 + 2x + 4) > 0.
\]
Và cộng với 3 sẽ vẫn lớn hơn 0:
\[
(x^2 + 2x + 3)(x^2 + 2x + 4) + 3 > 0 \quad \text{với mọi } x.
\]

### Kết luận:
- a) Đúng.
- b) Đúng.
- c) Đúng.

Tất cả các biểu thức đã chứng minh là đúng với mọi giá trị của biến \( x \).