Để tìm tất cả các giá trị của \( m \) sao cho đồ thị hàm số

\[
y = (m+1)x^2 + 2x + (3m - 2)
\]

và

\[
y = x + 2mx + 4
\]

cắt nhau tại đúng 2 điểm phân biệt, ta sẽ thiết lập phương trình bằng nhau:

\[
(m+1)x^2 + 2x + (3m - 2) = x + 2mx + 4.
\]

Rút gọn phương trình này, ta có:

\[
(m+1)x^2 + (2 - 2m - 1)x + (3m - 2 - 4) = 0,
\]

hay

\[
(m+1)x^2 + (1 - 2m)x + (3m - 6) = 0.
\]

Phương trình bậc hai sẽ có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi delta của nó dương:

\[
\Delta = (1 - 2m)^2 - 4(m + 1)(3m - 6) > 0.
\]

Tính delta:

\[
\Delta = (1 - 2m)^2 - 4(m + 1)(3m - 6).
\]
\[
= 1 - 4m + 4m^2 - 4((3m^2 - 6m + 3m - 6)).
\]
\[
= 1 - 4m + 4m^2 - 12m^2 + 36m - 24.
\]
\[
= -8m^2 + 32m - 23.
\]

Để \(\Delta > 0\), ta giải bất phương trình:

\[
-8m^2 + 32m - 23 > 0.
\]

Chia cả hai vế cho -1 (đảo dấu):

\[
8m^2 - 32m + 23 < 0.
\]

Áp dụng công thức nghiệm bậc 2:

\[
m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},
\]

với \( a = 8, b = -32, c = 23 \):

\[
m = \frac{32 \pm \sqrt{(-32)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 23}}{2 \cdot 8}.
\]
\[
= \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 736}}{16}.
\]
\[
= \frac{32 \pm \sqrt{288}}{16}.
\]
\[
= \frac{32 \pm 12\sqrt{2}}{16}.
\]
\[
= 2 \pm \frac{3\sqrt{2}}{4}.
\]

Các nghiệm là:

\[
m_1 = 2 - \frac{3\sqrt{2}}{4}, \quad m_2 = 2 + \frac{3\sqrt{2}}{4}.
\]

Xét tập nghiệm:

Chúng ta cần tìm khoảng mà hàm bậc hai \(8m^2 - 32m + 23 < 0\). Hàm này có dạng parabol mở lên, nên nó sẽ có những khoảng nằm giữa hai nghiệm:

\[
m \in \left( 2 - \frac{3\sqrt{2}}{4}, 2 + \frac{3\sqrt{2}}{4} \right).
\]

Tiếp theo, ta cần kiểm tra điều kiện \(x_1 + 2x_2 = 1\):

Giải 2 nghiệm của phương trình bậc 2 đã đưa ra, thương số của hai nghiệm là:

\[
S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = \frac{2m - 1}{m + 1},
\]
\[
P = x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{3m - 6}{m + 1}.
\]

Công thức cho \(x_1 + 2x_2 = 1\):

\[
x_1 + 2\left(x_1 - S\right) = 1 \implies 2x_1 - S + 1 = 0 \implies 2x_1 + \frac{1 - (2m - 1)}{m + 1} = 0.
\]

Cuối cùng, giải hệ của các điều kiện:

1. \(8m^2 - 32m + 23 < 0\)
2. Thỏa mãn điều kiện \(x_1 + 2x_2 = 1\).

Kết quả cuối cùng sẽ cho giá trị của \( m \) sao cho đồ thị cắt nhau tại đúng 2 điểm phân biệt và thỏa điều kiện.