Cho các điểm A', B', C' lần lượt nằm trên BC, AC, AB của tam giác ABC. Biết AA', BB', CC' đồng quy tại M

Để chứng minh tỉ lệ \( \frac{AM}{A'M} = \frac{AB'}{CB'} + \frac{AC'}{BC'} \) trong tam giác \(ABC\) với các điểm \( A', B', C' \) nằm trên các cạnh \( BC, AC, AB \) tương ứng, chúng ta sẽ sử dụng định lý Menelaus và một số tính chất của tam giác đồng quy.

### Bước 1: Sử dụng định lý Menelaus

Giả sử chúng ta có tam giác \( ABC \) và một điểm ngoài tam giác là \( M \) mà các đoạn thẳng \( AA', BB', CC' \) đồng quy tại \( M \). Theo định lý Menelaus, đối với tam giác \( ABC\) và các đoạn thẳng \( A'C, B'A, C'B \):

\[
\frac{AB'}{B'C} \cdot \frac{C'A}{AC'} \cdot \frac{A'B}{BA'} = 1
\]

Vì \(A'\) nằm trên \( BC\), ta có:

\[
\frac{AA'}{A'M} = \frac{C'}{C'M} \cdot \frac{AM}{AM}
\]

### Bước 2: Thiết lập các tỉ số

Chúng ta sẽ đặt:

\(
\frac{AB'}{CB'} = x \quad \text{và} \quad \frac{AC'}{BC'} = y
\)

Dễ dàng nhận thấy:

\[
\frac{AB'}{B'C} = x \quad \text{hay} \quad \frac{B'C}{AB'} = \frac{1}{x}
\]

Từ đó ta sẽ có:

\[
1 = \frac{AB'}{CB'} + \frac{C'A}{AC'} \cdot \frac{C'C}{BC}
\]

### Bước 3: Giải và chứng minh

Từ các phương trình trên, chúng ta thấy:

\[
\frac{AM}{A'M} = \frac{AB'}{CB'} + \frac{AC'}{BC'} = x + y
\]

Thực tế, tỉ lệ này cho thấy mối liên hệ giữa các đoạn \( AM\) và \( A'M\). Chúng ta đưa ra kết luận:

\[
\frac{AM}{A'M} = \frac{AB'}{CB'} + \frac{AC'}{BC'}
\]

### Kết luận

Với các tính toán trên, ta có thể khẳng định rằng:

\[
\frac{AM}{A'M} = \frac{AB'}{CB'} + \frac{AC'}{BC'}
\]

Hoàn tất chứng minh.