Để giải bài toán này, ta cần phân tích một số thông tin liên quan đến tam giác ABC vuông tại A và điểm M trên cạnh BC.

Giả sử A(0, 0), B(a, 0), C(0, b), trong đó a và b là độ dài cạnh AB và AC tương ứng.

### a) Tứ giác AFME là hình gì?

Khi vẽ các đường thẳng song song với AB và AC qua điểm M để cắt AB và AC tại các điểm E và F, ta có:

- Đường thẳng song song với AB đi qua M cắt AB tại E.
- Đường thẳng song song với AC đi qua M cắt AC tại F.

Tứ giác AFME có 2 cạnh song song (AE // FM và AF // ME). Do đó, tứ giác AFME là hình bình hành.

### b) Xác định vị trí điểm M trên cạnh BC để tứ giác AFME là hình vuông.

Để tứ giác AFME là hình vuông, tất cả các cạnh của nó phải có độ dài bằng nhau và các góc phải bằng 90 độ.

Gọi độ dài của cạnh AE và AF là \(l\).

Do AE // FM và AF // ME, nếu AFME là hình vuông thì:

1. AE = AF = l (cạnh của hình vuông)
2. Góc AFE = 90 độ

Vì AE // AB và AF // AC, để có AFME là hình vuông, ta cần M được chọn sao cho:

- Đoạn AM vuông góc với BC, tức là M phải nằm ở vị trí sao cho đoạn thẳng AM chia tam giác ABC thành các tam giác nhỏ đồng dạng.

Xét độ dài đoạn BC, nếu chiều dài của BC được ký hiệu là \(c\), thì chiều dài của EM và FM cũng sẽ mang tỷ lệ tương ứng với tuổi các cạnh của tam giác.

Giả sử M chia BC thành 2 đoạn MB = x và MC = c - x, với x là vị trí của M về phía B. Do đó:

\[
AM = \frac{b \cdot x}{c} \quad \text{và} \quad AM = \frac{a \cdot (c - x)}{c}
\]

Để tứ giác AFME là hình vuông, ta cần:

\[
\frac{b \cdot x}{c} = \frac{a \cdot (c - x)}{c}
\]

Giải phương trình trên sẽ cho x:

\[
bx = a(c - x) \implies bx + ax = ac \implies x(b + a) = ac \implies x = \frac{ac}{a + b}
\]

Vậy, điểm M cần nằm tại vị trí:

\[
M\left(\frac{ac}{a+b}, c - \frac{ac}{a+b}\right)
\]

Điều này đảm bảo rằng tứ giác AFME trở thành một hình vuông.