Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Cho M là hình chiều của HA trên AB. N trung điểm BM, trên tia HC lấy K sao cho HK = BN. Cho S đối xứng K qua A. Chứng minh SN vuông góc với góc NK

Để chứng minh \( SN \) vuông góc với \( NK \), chúng ta sẽ dùng một số tính chất hình học liên quan đến tam giác vuông và các điểm đã cho.

1. **Thiết lập hệ tọa độ**:
Đặt \( A \) tại điểm \( (0, 0) \), \( B \) tại điểm \( (b, 0) \) và \( C \) tại điểm \( (0, c) \). Do tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), ta có đường cao \( AH \) vuông góc với \( BC \).

2. **Tìm tọa độ điểm H**:
Tọa độ của điểm \( H \) có thể được xác định từ điểm \( A \) và đường thẳng \( BC \). Ta có thể dùng hệ thức lượng để tính chiều cao \( AH \).

3. **Tìm điểm M**:
M là hình chiếu của \( H \) trên \( AB \). Vì \( AB \) nằm trên trục hoành, tọa độ của \( M \) sẽ là \( (x_m, 0) \), trong đó \( x_m \) phụ thuộc vào chiều cao và chiều dài đoạn \( AH \).

4. **Tìm điểm N**:
\( N \) là trung điểm của đoạn \( BM \), vậy tọa độ của điểm \( N \) sẽ là:
\[
N\left( \frac{b + x_m}{2}, 0 \right)
\]

5. **Tìm điểm K**:
Điểm \( K \) được lấy trên tia \( HC \) sao cho \( HK = BN \). Tính lý thuyết cho chúng ta thấy rằng nếu \( H \) và \( C \) có tọa độ như đã thiết lập, chúng ta sẽ có thể tính toán được độ dài \( HK \).

6. **Đối xứng S**:
Điểm \( S \) đối xứng với \( K \) qua \( A \) thì tọa độ của \( S \) sẽ là:
\[
S(-x_k, -y_k)
\]
với \( (x_k, y_k) \) là tọa độ của \( K \).

7. **Chứng minh SN vuông góc với NK**:
Để chứng minh \( SN \perp NK \), ta sẽ lập phương trình đường thẳng của hai đoạn thẳng \( SN \) và \( NK \) và kiểm tra điều kiện góc vuông.

- Tính vector \( \overrightarrow{SN} \) và \( \overrightarrow{NK} \):
\[
\overrightarrow{SN} = N - S \quad \text{và} \quad \overrightarrow{NK} = K - N
\]
- Tính tích vô hướng của hai vector này, nếu tích vô hướng tìm được bằng 0 thì hai đoạn thẳng vuông góc với nhau:
\[
\overrightarrow{SN} \cdot \overrightarrow{NK} = 0
\]

Cần sử dụng các tính chất địa lý từ điểm A, đường cao AH, các trung điểm và hình chiếu để tổng hợp các mối quan hệ giữa các điểm trên mặt phẳng, tạo ra điều kiện góc vuông.

Bằng cách thực hiện các bước trên và tính toán cụ thể, ta có thể chứng minh rằng \( SN \perp NK \).