Cho tam giác ABC có ba góc nhọn có AB < AC. Gọi AM, AD lần lượt là đường trung tuyến và đường phân giác của tam giác ABC

Để chứng minh các kết luận trong bài toán, ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần:

### a) Chứng minh rằng \(AB^2 + AC^2 = 2AM^2 + \frac{BC^2}{2}\)

Đầu tiên, định nghĩa các điểm trong tam giác. Gọi \(A\), \(B\), \(C\) là thuộc tính của tam giác với các độ dài cạnh như sau:
- \(AB = c\)
- \(AC = b\)
- \(BC = a\)

Với \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BC\), ta có \(BM = MC = \frac{a}{2}\).

Để sử dụng định lý đường trung tuyến, ta có công thức:
\[
AM^2 = \frac{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}{4}
\]
Thay \(AB = c\), \(AC = b\) và \(BC = a\) vào công thức trên:
\[
AM^2 = \frac{2c^2 + 2b^2 - a^2}{4}
\]

Nhân đôi phương trình trên:
\[
2AM^2 = \frac{2(2c^2 + 2b^2 - a^2)}{4} = \frac{2c^2 + 2b^2 - a^2}{2}
\]

Giờ ta đến từ phần \(AB^2 + AC^2\):
\[
AB^2 + AC^2 = c^2 + b^2
\]

Thay vào biểu thức:
\[
c^2 + b^2 = 2AM^2 + \frac{a^2}{2}
\]
Như vậy chúng ta đã chứng minh được rằng:
\[
AB^2 + AC^2 = 2AM^2 + \frac{BC^2}{2}
\]

### b) Chứng minh rằng \(IN\) vuông góc với \(BC\)

Gọi \(I\) là điểm trên đoạn \(AD\) (đường phân giác) và điểm \(N\) là giao điểm của \(AM\) và \(HK\) (hai đường vuông góc với các cạnh \(AB\), \(AC\) tại \(H\) và \(K\)).

1. **Đặc điểm vuông góc**: Từ định nghĩa, \(IH\) vuông góc với \(AB\) và \(IK\) vuông góc với \(AC\), điều này có nghĩa rằng góc \(IHA = 90^\circ\) và góc \(IKA = 90^\circ\).

2. **Xét tam giác \(IHA\) và \(IKA\)**: Do các góc trên vuông, ta có:
- Tam giác \(IHA\) và \(IKA\) tạo thành các góc phụ với đường phân giác \(AD\).

3. **Xét tính chất của giao điểm**: Khi \(AM\) và \(HK\) cắt nhau tại \(N\), điểm \(N\) sẽ nằm trên đường phân giác \(AD\).

4. **Tính chất vuông góc**:
- Khi \(I\) di chuyển dọc theo đoạn thẳng \(AD\), chúng ta có:
- \(NH\) vuông góc với \(AB\) và \(NK\) vuông góc với \(AC\). Do đó, nếu ta gọi \(g\) là đường thẳng đi qua \(N\) và vuông góc với \(BC\), thì đường thẳng \(g\) sẽ trùng với đường thẳng \(IN\).

Từ đó, ta có thể rút ra rằng đoạn thẳng \(IN\) vuông góc với \(BC\) theo quy luật tam giác vuông, từ tính chất của đường phân giác \(AD\), các điểm \(H, K, N\) tạo thành mối quan hệ vuông góc tương ứng với đường thẳng \(BC\).

Kết luận: Ta có thể thấy rằng \(IN\) vuông góc với \(BC\) như yêu cầu.

Như vậy, kết luận cho cả hai phần đã được hoàn thành.