Cho tam giác ABC,trên đáy BC, lấy M là trung điểm, trên AB lấy N sao cho AN = 1/3 AB, nối AM x NC tại D. So sánh diện tích ABM và diện tích AMC

Để so sánh diện tích của hai tam giác \( \triangle ABM \) và \( \triangle AMC \), ta sẽ làm theo các bước sau:

**Bước 1: Vẽ hình**

1. Vẽ tam giác \( ABC \) với đáy \( BC \).
2. Lấy \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \).
3. Trên cạnh \( AB \), lấy điểm \( N \) sao cho \( AN = \frac{1}{3} AB \).
4. Nối điểm \( A \) với điểm \( M \) và điểm \( N \) với điểm \( C \). Gọi giao điểm của hai đường thẳng này là \( D \).

**Bước 2: So sánh diện tích**

Để so sánh diện tích của hai tam giác \( \triangle ABM \) và \( \triangle AMC \), ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác:

- Diện tích của tam giác được tính theo công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \times \text{đáy} \times \text{chiều cao}
\]

- Diện tích tam giác \( \triangle ABM \):
- Đáy \( BM \) và chiều cao là đường vuông góc từ \( A \) đến \( BM \).

- Diện tích tam giác \( \triangle AMC \):
- Đáy \( MC \) và chiều cao là đường vuông góc từ \( A \) đến \( MC \).

**Bước 3: Tính diện tích cụ thể**

Giả sử chiều dài \( AB = c \), \( AC = b \), chiều dài \( BC = a \).

- Khi \( M \) là trung điểm của \( BC \), ta có \( BM = MC = \frac{1}{2} BC \).

- Do \( AN = \frac{1}{3} AB \), từ đó \( NB = \frac{2}{3} AB \).

Dễ dàng thấy rằng:
1. Diện tích \( \triangle ABM \) tỉ lệ với chiều dài \( AB \). Khi \( M \) là trung điểm, \( BM \) bằng một nửa chiều dài của \( BC \), nên tổng thể diện tích \( \triangle ABM \) sẽ bằng:
\[
S_{ABM} = \frac{1}{2} \times BM \times h_A
\]
với \( h_A \) là chiều cao từ \( A \) xuống đường thẳng \( BC \).

2. Tương tự cho \( \triangle AMC \):
\[
S_{AMC} = \frac{1}{2} \times MC \times h_A
\]

**Bước 4: So sánh**

- Từ trên, tổng thể ta có:
\[
S_{ABM} = \frac{1}{4} BC \cdot h_A
\]
\[
S_{AMC} = \frac{1}{4} BC \cdot h_A
\]

Tuy nhiên, các chiều dài này sẽ khác nhau tùy thuộc vào vị trí của M. Khi M là trung điểm thì:

Như vậy, ta có:
\[
S_{ABM} < S_{AMC} \text{ vì } AN < AM
\]

Kết luận:
- Diện tích tam giác \( \triangle ABM \) nhỏ hơn diện tích tam giác \( \triangle AMC \):
\[
S_{ABM} < S_{AMC}
\]

Bạn hãy vẽ hình ra để dễ hình dung nhé! Chúc bạn thành công!